CHAPITRE V. — LOOARITHME NÉPÉRIEN ET FONCTION EXPONENTIELLE

En mcltant en évidence les éléments de l{q)^ et posant pour abréger

. il vient finalement

parce que mod^y étant = i, le premier élément de

s'évanouit (178). La formule (19) donne donc (22) m = i[4(r,-h...-h Va)],

où, en vertu de la relation (21), Fi, . . . , F,, et par suite le multiplicateur de I sont des quantités toutes positives.

Les formules (ai)? (22), très légèrement modifiées, sont celles qu'on emploie effectivement au calcul numérique de tïj(193, in/.).

La non-nullité de Faugment xn est un point essentiel de la théorie dont nous sommes occupés. On peut Félablir d'une manière entièrement différente qui sera indiquée plus loin (219 bis, in/,).

181. Quand \. est une quantité réelle positive, tout chemin non équiK^alent au segment [i X] de Caxe des quantités réelles donne pour /(X) une valeur imaginaire.

Car ce segment donne pour /(X) une quantité réelle (177) et un chemin non équivalent, cette même quantité augmentée de Xr.cj, où HT est imaginaire (180) et A* ^ o par hypothèse.

182. «S/X est une quantité non réelle positive, /(X) est imaginaire quel que soit le chemin suivi.

En appelant X(t) la trace de la demi-droite O^X sur la circonférence [Oj, 1], nous remplacerons le chemin considéré par un autre équivalent composé de : i® Farc de cette circonférence conduisant de X = I à :r = X^g par une marche de sens rotatif constant; apparie segment de la demi-droite, qui conduit de x = X^i) à ^ = X.

En supposant d^abord direct Farc considéré, qui par hypothèse

n'est pas nul, appelant n le plus grand nombre des quadrants qui j sont contenus, il est évident qu'on peut écrire

X(i, = t«Xiîi,

où le dernier facteur n'a aucun élément négatif, puis décomposer/ et X[^', en facteurs primaires q de modules = i et de pentes y < i» tels (98, II, III, IV) qu'on pourra effectuer le parcours de cet arc en faisant passer x successivement

de I à 5^1, puisà^'i^r,, à ^i^s^i,. ..., à ^i^, . . . 5^2 = X(i), ce qui donne comme ci-dessus (180)

/(X(t,)=«(ri-i-... + rv),

le multiplicateur de / étant essentiellement positif.

Quant au segment rectiligne, son parcours laisse invariable le second élément de /(j?) (176).

Le cas d'un arc rétrograde se ramène immédiatement au précédent, par la considération de l'arc conjugué qui est alors direct, et par un raisonnement analogue à celui du n° 178.

183. Il résulte des premiers principes de la théorie du cercle, que le second élément de /(X) a pour représentation géométrique la longueur même de l'arc considéré ci-dessus, prise positivement ou négativement selon que le sens de son parcours est direct ou rétrograde.

Ce fait se rattache aux applications géométriques, et ce n'est pas ici le lieu de l'approfondir. La formule (18) suffit toutefois à en constater l'exactitude; car pour Ç= i, les vitesses des points x et u = l{x) étant toujours égales, les espaces parcourus en même temps par le premier sur la circonférence [0^, i] à partir de j; = 1, par le second sur l'axe des seconds éléments à partir de w = o, sont égaux nécessairement aussi. Les mouvements simultanés de ces deux points ont d'ailleurs les directions requises (179).

On a en particulier

TS = l.ITZ,

in représentant y comme d'habitude, la longueur de la circonférence de rayon i . Cette observation n'offre aucun intérêt ana-