CHAPITRE V. — LOGARITHME NÉPÉRIEN ET FONCTION EXPONENTIELLE

Ijlique, parce que toute expression est susceptible de quelque représentation géométrique, et qu'à ce point de vue il n'importe en rien que ce soit l'une ou l'autre. Mais elle était nécessaire poui justifier l^ usage de représenter par aizi Vaugment du logarithme népérien , usage auquel nous nous conformerons désormais.

184. Quand x est infiniment petite ou infinie^ le second élément de l{x) est indéterminé, mais le premier est infini, négatif dans le premier cas, positif dans le second.

On a effectivement

où l{\) est la détermination réelle du logarithme de $, module de X (178), où w* représente l'arc de cercle défini ci-dessus (183). Cette dernière quantité est indéterminée, comme le mouvement giratoire dont x peut être animée en se rapprochant ou s'éloignant de l'origine.

Si l'on suppose ensuite que Ç croisse de o àoo par des valeurs en progression géométrique croissante de raison q (positive et ^ i), les valeurs correspondantes de l{\) seront les termes d'une progression arithmétique de raison \\\ -\- q — i) ^^ K^) ^ ^ {yi\ , V) (177), partant croissante^ par suite l{\) croîtra de — oo à +00.

Les choses se passeront de la même manière pour tout autre

mode de croissance de $, car la dérivée -z de /($) (171) étant toujours positive, cette fonction est toujours croissante (19 et sui^f,).

185. Le signe /(X), posé sans autre indication, représente assez souvent l'ensemble des valeurs que l{x) acquiert en X au bout de tous les chemins pouvant être tracés de x = i à ^ = X, et qu'on nomme alors les logarithmes de X. Quelquefois aussi il représente l'un de ces logarithmes, spécifié d'une manière ou d'une autre.

Ce point de vue comporte quelques observations :

L Sik représente un entier absolument indéterminé (positi nul ou négatif), tous les logarithmes de X sont renfermés dans l^ expression

198 DEUXIÈME rARTII.. — FONCTIONS D'UNB SEULE VARIABLE.

OÙ /(X) désigne l^un (Tentre eux choisi arbitrairement (173) (183).

II. Tous ces logarithmes sont ima g inaires ^ sauf le cas où X est une quantité réelle positive, et où l'un d^eux, mais un seul,

estréel{\Tl){\^\){\%±),

Dans ce dernier Ccis, la notation /(X) représente liabilncUement cette détermination réelle unique.

III. La relation (i3) cesse en général d'être exacte quand on y remplace les déterminations voulues des logarithmes, par d^ autres prises au hasard ; mais elle le redevient par l'addition au second membre, de la constante

(a3) (-/-4-A-'K'-hA-"K''-.-...-hA-'^^K'^0îï-^

où /r, A', . . . sont des entiers convenablement choisis. Car les déterminations des logarithmes requises pourTexaclitade de cette relation sont respectivement égales à d'autres quelconques augmentées de tels ou tels multiples entiers de 2Tzi (ï).

IV. Mais quand les quantités x', x". . . . , sont toutes réelles positives, et quand on adopte pour x'^\ x"^\ . . . leurs déterminations positives (94), pour leurs logarithmes et celui de leur produit, leurs déterminations réelles, la relation (i3) subsiste toujours sous la même forme extérieure. Car le choix de pareilles déterminations rendant réels à la fois les deux membres de cette relation, il faut de toute nécessité que dans le terme additionnel (îî3) le facteur entre parenthèses se réduise à o.

A un facteur constant prés {^Q%etsuiv., inf,)^ cette formule est alors celle qui fait des logarithmes un instrument si expéditif pour l'exécution indirecte des calculs numériques usuels. Les cas pai*ticuliers les plus employés sont

(24) l(i) = li^')-l{^').

V. Les seconds éléments des logarithmes de X sont ce qu'on nomme les arguments de cette quantité; ils sont représentés