CHAPITRE V. — LOGARITHME NÉPÉRIEN ET FONCTION EXPONENTIELLE

géomélriquement par les arcs de cercle définis au n® 183, augmentés des multiples entiers de la longueur air de la circonférence de rajon i .

En égalant les seconds éléments des deux membres de la formule (i3) modifiée comme nous l'avons expliqué ci-dessus (III), on obtient en particulier une représentation géométrique de la multiplication, de la division et de l'extraction des racines. Mais nous n'en avons que faire, et nous n^insisterons pas.

186. Les logarithmes des racines m'^™** de l'unité ont dç» valeurs remarquables qu'il est utile de calculer.

En appelant oLfn=^( — ] la racine principale directe (113),

chacune des autres a pour expression a"^ = ^ ( — j, où /z est quelque

entier positif <;/w; en représentant alors par 1{ol"„) la valeur de i{x) au bout du plus court chemin qui conduit ^, dans le sens direct, de i à a^ sur la circonférence de centre O;^ et de rajon = i , on a toujours

(25) /(ctj,)=n^.

Quand on a mod(a;,t — i)<i\^ les quantités

jalonnent un chemin fermé qui est praticable pour le calcul de l{x)^ parce qu'on y a sans cesse

(26) mod ('''" ^ 7 '''^*) = mod(g,„ - i)< i,

d'où mod(aJ^* — aj^) < modaJ„(171, III). D'autre part, le passage de chaque sommet au suivant ajoute à l{x) l'accroissement de valeur constante

A = x(i-^^^-''7^'-) = x(i + ;:;;^rT) (i7i,ii).

Enfin le chemin considéré fait faire à x une seule révolution de sens direct autour de l'origine O^, et son premier tronçon limité

200 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D'uNB SEULE VARIABLE.

à ajj conduit l{x) à la valeur cherchée. Il en résuite immédiatement

/?tA = 2'7rfc (183), /(aJj) = /iA,

d'où la formule (25).

Quand on a, au contraire, mod(a,„ — 0= * » ^^ prendra un multiple de m, M = mq assez grand pour donner mod(a3( — i)< i (113 bis, II), et la considération du chemin analogue, mais maintenant praticable,

conduira à

par suite à la formule (aS) encore, à cause de a5'^(aî)"= a^ (113 6w, I).

On notera les cas particuliers suivants

/(0=/(aJ)=i ^ = Y' /(-i)=/(aî) = 3i^ = 5,:,.

S'il s'agissait du plus court chemin conduisant de i à a^ sur la même circonférence, mais dans le sens rétrograde, il faudrait évidemment remplacer la formule (26) par

tn m

186 bis. On a quelquefois à calculer l'accroissement éprouvé par l{x) quand x chemine d'une valeur particulière :ro(non =0) à axcsproduit de celle-ci par quelque racine de l'unité. En supposant a = a^, et ce chemin équivalent au plus petit arc direct que ces points découpent sur la circonférence ayant Oj pour centre avec mod^To pour rayon, la considération du chemin