CHAPITRE V. — LOGARITHME NÉPÉRIEN ET PONCTION EXPONENTIELLE

conduit comme ci-dessus à

27) 1(7l7„Xo) — 1{Xo) = n — ^.

S^il s'agissait du plus petit arc de sens rétrograde découpé par les mêmes points sur la même circonférence, on trouverait

(28) l(oiiiXo)— 1(xq)=: —{nt — n)

//If

Pour m = 2, n = 1 , on aurait par exemple

selon que la demi-circonférence à considérer serait directe ou rétrograde.

Tous les autres chemins donnent évidemment à Taccroissement de l{x) Tune ou l'autre des valeurs (27), (28), sauf des multiples entiers de 2Tzi qui s'aperçoivent immédiatement.

187. Le logarithme ne cessant d'être olotrope que pour une valeur nulle (ou infinie) de la variable (171, I), les phases singulières de la /onction composée ll]{x,y^ . . .) ne peui^ent correspondre qvHà celles de la fonction simple U(:r, y, . . .), ainsi qu'aux valeurs de x^y^ . . . , la rendant nulle ou infinie.

Comme au n° 126, le calcul par cheminement de /U(^, >', . . .) se ramène au tracé de la ligne décrite par u = U(ir, y^ • • •)> P***^ au calcul de /(i/) sur ce chemin (171, II). Quand U(a:, y^ . . .) est décomposable en facteurs plus simples, la relation (i3) peut rendre l'opération très facile. On en trouvera plus loin un exemple (190, inf.y

Pour difl'érentier /U(x), on a la formule évidente (236*)

dx - XM.x)^^''^'

Une fonction composée de /(a;) se trouve naturellement dans une phase singulière, tout au moins critique, quand x est infiniment petite ou infinie. Assez souvent on a intérêt à y remplacer x par e^y pour étudier ensuite ce qui s'y passe quand on rend le premier élément de j^ infini, négatif ou positif (201 , m/.) . Par exemple.

on trouve ainsi que, pour x infiniment petite positive, j:ï^[/(x)]^ tend vers zéro, quels que soient les exposants commensurabies positifs u, V (207, inf.),

188. Le logarithme népérien que nous connaissons maintenant par ses valeurs numériques et par ses propriétés caractéristiques, à peu près comme nous connaissions auparavant les fonctions rationnelles, les monômes irrationnels, etc., fournit le dernier élément qui nous manquait pour opérer Tintégration d'une fonction rationnelle quelconque (170), et pour compléter, dans tous les cas, l'expression que nous avons donnée de l'intégrale indéfinie d'une fonction méromorphe dans une aire limitée donnée, ou d'un développement rhizomorphe (41) (1S7).

Quand la fonction sous le signe d'intégration contient dans son développement un terme de la forme

où A n'est pas nul, il lui correspond évidemment dans celui de

l'intégrale le terme

Kl{x -a)

introduisant dans sa phase singulière en a: = a une complication logarithmique. De ce chef, par exemple, V intégrale augmente de A. 2 7r/ à chaque révolution directe de x autour du point a ; effectivement, nous avons déjà remarqué au n** 126 que la difTérence x — a se meut par rapport à sa propre origine, comme x relativement au point n (173) (183), etc.

189. Voici la plus importante des propositions se rattachant aux considérations de ce genre : Si la fonction /(x) est méromorphe dans l'aire limitée et imper/orée S, mais olotrope sur

son contour (C)j r intégrale dé/inie f /(x) dx, prise en parcou-

rant ce contour une fois dans le sens direct, est liée au résidu intégral de /{x) dans l'aire considérée (56) par la relation

(ag) f /(x)dx = 2iti r /(x).

CllAPITRK V. — LOGARITHME NÉPÉRIEN ET FONCTION EXPONENTIELLE. 203

En intégrant par décomposition, après avoir substitue k f(x) le second membre de la relation (i4) du n° 39, et en représentant par F(x) celui de la formule (i6) du n** 41, il vient évidemment

(3o) f/(x)dx = F(x)-h\l\lii{.T - a,)-^-. . .H- A}J»,/(:p - «y).

Quand x revient à son point de départ après avoir parcouru le contour (C), le terme F(j:), méromorphe dans Taîre S partant monodrome, revient à sa valeur initiale et ne donne rien dans l'intégrale définie. Mais comme le contour constitue un anneau direct autour de l'un quelconque des points a,, ao, . . ., chaque logarithme augmente de 27zi (188). Il reste donc

/ /{x)dx = 27r£(A'ji[,-r-. . .-î- A|J^Li),

où, par définition, la somme entre parenthèses est précisément le résidu intégral figurant dans la relation ('^9).

En faisant varier la nature de /{x) et la forme du contour (C), en exécutant des transformations variées, Cauchy, auteur de ce théorème, en a déduit les valeurs d'une foule d'intégrales définies, les unes nouvelles, les autres déjà obtenues, mais par des procédés bien plus pénibles. Dans notre troisième Partie, nous expliquerons cette élégante méthode sur plusieurs exemples.

On a cru qu'elle réduisait des intégrations aux simples différentiations nécessaires pour calculer les résidus, et l'on s'en est étonné. Mais la relation transitoire (3o) montre bien qu'au fond l'intégration est simplement ramenée à d'autres intégrations dont les résultats sont fournis, une fois pour toutes, par la théorie du logarithme.

190. Nous plaçons ici un autre théorème de Cauchy qui porte encore son nom.

Les mêmes choses étant admises que dans le précédent, as^ec la condition, pour /(x)^ de n'avoir aucun zéro sur le contour (C), si l'on nomme m la somme des degrés de multiplicité des zéros de/{x) intérieures à l'aire S, |jl /ûr même somme pour les infinis de cette fonction et ^l/{x) la variation que fait éprouver à l/{x) le parcours du contour (C) dans le sens direct, on a

En choisissant convenablement les déterminations des logarithmes, la relation (2) du n** 31, combinée avec la formule (i3), donne immédiatement

d'où, après le parcours direct du contour (C),

M/{x)= ZmiM{x — ai)— SjjliA/( j: — ai)-H A/f(x).

Dans le second membre de cette égalité, le dernier terme se réduit à zéro, car, î{x) étant olotropc et sans zéro dans Taire S, li{x) y est localement olotrope (187), par suite monodrome, puisque cette aire est imperforée (173*). D'autre part, on a, comme tout à l'heure,

A/(J? — ai) = A /(a: — Xç) = 27: t.

Il reste donc

A //(a:) = {Zmi— £[Jti)2iri,

ce qu'il suffisait de prouver.

191, Quand /{x) est olotrope dans l'aire S, le nombre jjl est nul, et la formule (3i) ramène au calcul de A//(x) celui de m, somme des degrés de multiplicité des racines de l'équation

situées à l'intérieur du contour (C).

En prenant, par exemple, pour /(x) le poljrnôme entier de degré effectif k,

OÙ a/ç^o et où e(x) tend vers zéro quand x est infinie, puis pour S un cercle ayant son centre à l'origine et son rayon assez grand pour que sur sa circonférence on ait constamment

(33) mode(j:)< moda*,

on trouve immédiatement

A//(.r)— k\l(x)~{- A/[aAH- e(x)] — k.i-^i.

Effectivement ^l(x)= 2Tzi parce que la circonférence est un