CHAPITRE V. — LOGARITHME NÉPÉRIEN ET FONCTION EXPONENTIELLE

certain anneau tracé autour de Torigine, et H[ak-he(x)] = o, à cause de la condition (33), parce que le mouvement de x fait décrire à aA-f-^(^) un contour fermé qui peut évidemment se déformer jusqu'à des dimensions insensibles, sans franchir l'origine spéciale à laquelle on supposerait cette quantité pour un instant rapportée.

La formule (3i) fait donc retrouver m =: Ar, principe fondamental de la théorie des équations entières. Mais cette démonstration n'est pas bonne, en ce sens qu'elle implique des considérations trop indirectes et par surcroît trop étrangères à l'Algèbre pure. Nous ne la reproduisons qu'à titre de curiosité, et nous lui préférons celles que nous avons données aux n*'* 13, 15, cette dernière principalement.

192. Si de plus Téquation (32) n'a que des racines simples à l'intérieur du contour (C), la formule (3i) en réduit le dénombrement même au calcul de ^lf{x).

Cette quantité contient 211 £ autant de fois évidemment qu'autour de l'origine 0« de u =f{x) il faut superposer d'anneaux identiques (directs), pour réaliser un chemin fermé jusque auquel, mais sans lui faire franchir cette origine, on puisse déformer le contour fermé (Q) que la marche de x sur (C) fait décrire à u. Le nombre de ces anneaux a une relation très simple avec le nombre et la disposition des intersections par la ligne (Q), des parties posi-

lives et négatives de l'axe 0„U', points où le rapport — ; des éléments de u s'évanouit; on constatera sans peine c^viHl est précisément la moitié de l^ excès du nombre de fois que, pendant le

u' mouvement de x sur (C), le rapport —^ passe en s^annulant du

négatif au positif, sur le nombre de fois que le même rapport pa^se semblablement du positif au négatif. La simple discussion de ce rapport, faite sur le contour (C) à ce point de vue, procure ainsi le dénombrement des racines; Cauchy a complété son théorème par l'indication de procédés spéciaux pour l'effectuer dans certains cas intéressants pour la théorie des équations entières; mais ces développements sont trop en dehors de notre cadre, et nous ne pouvons nous y engager.

206 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS d'UXE SEULE VARIABLE.

193. Voici, pour terminer ce paragraphe, la méthode la plus expëdilive pour exécuter le calcul numérique du nombre ir.

Pour m = 8, n = I, la formule ( 25) montre que -: est le second

élément du logarithme de ag = ^(^) racine principale directe S'*^"* de l'unité, ce logarithme étant calculé sur le chemin défini au commencement du n** 186.

En faisant 0Lg= a'-t- «a", où a">o puisqu'il s'agil d'une racine principale directe, la relation aj=a| = / (113 bis) conduit à a'* — ol"' = o, 2%'ol"= i, égalités montrant que a' est positif aussi, de plus égal à a'', qu'en conséquence a^ est une quantité primaire de pente = i . D'après cela, nous formerons d'abord les puissances

(34) I, y, ^«, ..., q^, qff^i,

d'une quantité primaire quelconque g de module i et de pente y < I , en allant assez loin pour que, toutes ces puissances restant primaires, les pentes des deux dernières comprennent i. En représentant un instant par ^£(a) la pente de la quantité a supposée primaire, l'emploi répété de la formule

fera connaître successivement les pentes des quantités (34)7 p^'' suite l'exposant^ et aussi les pentes y', y'', toutes deux inférieures à y, des quantités primaires, de module i aussi.

Posons mainlenant

Si y/<y/j le chemin sans rebroussement

['» qy <7% •••: q^y «s] donne facilement, comme au n® 180,