CHAPITRE V. — LOGARITHME NÉPÉRIEN ET PONCTION EXPONENTIELLE

Si au contraire /"<[ /', on préférera le chemin où le dernier pas est rétrograde, et l'on aura visiblement

En choisissant pour y^ une très petite fraction, y' et y" en seront de plus petites encore, les séries (35) convergent très rapidement, tous leurs termes sont des quantités commensurables, et l'on obtient facilement une grande approximation. Une manière

d'opérer particulièrement avantageuse consiste à prendre y= r» ce qui donne g ^ i= \, y" = — - , puis

Fonction exponentielle.

194. L'étude des fonctions engendrées par V inversion des intégrales abéliennes (329*) (169) est as;5urément l'une des parties les plus intéressantes de toute leur théorie. Nous avons à la faire actuellement pour le logarithme népérien.

La résolution par rapport à u de V équation

donne une fonction de x qui est indéfiniment olotrope, et dont le développement par la formule de Maclaurin est

(i) a = IH —

Cette équation étant satisfaite numériquement pour :r==o, M = I , hypothèses qui laissent son premier membre olotrope et

n'annulent pas - dérivée de celui-ci par rapport à w, possède une

seule racine olotrope en a: = o et y prenant la valeur u = i (307*);

et cette racine est déterminée aussi bien par inéquation différentielle immédiate et la condition initiale

du dx

pour

Comme les formules ultimes relatives à cette dernière équation (290*) ont la forme générale évidente

dx'f*

on trouve immédiatement la série (i) pour premier développement de rintégrale u.

Le rayon de convergence de cette série est d'ailleurs illimité;

effectivement, pour tout module R attribué à x^ le module

du rapport d'un terme au précédent est infiniment petit pour m infini y d'où il résulte que celui du terme général est infiniment petit, à plus forte raison fini (114*).

L'intégrale cherchée est donc bien la fonction indéfiniment olotrope dont la formule (i) fournit le développement.

195. En représentant provisoirement cette fonction par o{x)^ il est évident que la résolution de Véquation

(p(ar)r= M,

faite à partir rfe w = i , or = o, reproduit l(u) ; car celte équation finie équivaut à l'équation différentielle ^'{^)-j- =»? ou

dx I

bien ^ = -5 accompagnée de la condition initiale x = o pour

u= ly et, par définition (171), le premier développement de l'intégrale de cette dernière est précisément celui de l{u),

196. La différentiation de la fonction o{x) la reproduit indéfiniment; en d^ autres termes, on a, quel que soit V indice m,

Cette identité n'est pas autre chose que la formule ultime (3)