CHAPITRE V. — LOGARITHME NÉPÉRIEN ET FONCTION EXPONENTIELLE

Cela posé, la fonction exponentielle admet zb 27ct pour période.

Car, par ce qui précède (203 ), et quelle que soit Xj Téqualion

a pour racines toutes les quantités de la forme x + m^^iti.

Cette période est élémentaire (260, inf.) parce que Téquation (il) n'a pas d'autres racines.

205. Relativement aux parties aliquotes de sa période 2iri, Texponentielle jouit d'une sorte de périodicité imparfaite. Car, en appelant m un entier positif et a^ la racine principale directe m»^"** de l'unité, on a (201, VI)

mi TKi x+n n

ITZl

L! addition à x d'an multiple entier de — reproduit donc

encore l* exponentielle, mais au facteur a'|,/?/é5, qui se réduit à I quand n est multiple de m.

206. La composante e*^ étant indéfiniment olotrope, la fonction composée e^<''^.-) l^est elle-même aussi longtemps que la fonction simple U(a:, j', . . .) jouit de cette propriété (248*).

Quand la fonction simple est une fonction méromorphe U(.r) d'une seule variable, on voit sans peine que les infinis de U(x) sont des points singuliers essentiels de e^^^^ (259, inj.).

La diiférentiation de e^^^ donne

-^=au,..u'(.).

207. L'observation suivante est utile à la discussion de beaucoup d'expressions compliquées d'exponentielles.

Quelque grand que soit l'exposant positif fractionnaire ja, le rapport

est infini pour des valeurs positives infinies de x.

Car, à cause du développement (i), ce rapport est supérieur à

où M est un entier quelconque supérieur à (x.

Logarithmes vulgaires et autres fonctions connexes.

208. La relation fondanientale (i3) du n** 172, étant linéaire et homogène par rapport aux logarithmes qu'elle renferme, reste exacte quand on les multiplie tous par une même constante quelconque a que nous supposerons non =o. Ces produits sont les

valeurs de la fonction

ai{x)

pour X = ûc\ x'\ ... et se nomment les logarithmes de ces quantités, pris dans le système de module a. On représente celte fonction par loga(^), et Ton appelle base du système la quantité

A = e" dont le logarithme de cette espèce est = i .

D'après cette définition, les logarithmes népériens appartien-

nent au système qui a pour base e' = e.

209. Il n'y a intérêt à considérer ces nouveaux logarithmes, que dans le cas où a, module du système, est une quantité réelle, et où l'on fait abstraction de leurs déterminations imaginaires. Ils sont encore réels, quand ils appartiennent à des quantités positives, et ils conservent les propriétés exprimées par les formules (24) du n® 183.

Quand x est une quantité positive, on peut considérer u = loga(j?) comme la racine réelle unique de l'équation

La fonction e** jouit évidemment des propriétés caractéristiques de l'exponentielle; de plus, elle est égale à la détermination posi-

tive de yc^'j , quand j: est réelle commensurable (118), (197). Pour