CHAPITRE V. — LOGARITHME NÉPÉRIEN ET FONCTION EXPONENTIELLE

ce double motif, on la représente souvent par

L'équation précédente s'écrit alors

Quand on donne la base A = e" (réelle positive), le module est évidemment fourni par la formule

d'où

Ao- -, ^a./(A) = , + ?K^ +.

en se bornant à la détermination réelle de /(A).

210. En prenant A = io, base du système de la numération décimale, les logarithmes des puissances de lo deviennent précisément égaux à leurs exposants. C'est cette particularité, très avantageuse dans la pratique, qui a fait adopter les logarithmes de cette espèce pour l'abréviation des calculs numériques, sous le nom de logarithmes de Briggs ou vulgaires, pour la désignation desquels on se contente du signe log.

D'après la formule (i), leur module a pour valeur

et Ton a généralement

log(a7) =

/(lO)

Cet emploi des logarithmes vulgaires est à la fois l'origine historique des transcendantes dont nous nous occupons, et la plus utile de leurs applications pratiques.

211. Comme un logarithme vulgaire est le quotient de deux logarithmes népériens, la construction d'une Table de logarithmes exige seulement le calcul des logarithmes népériens de toutes les

218 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS d'uNE SEULE VARIABLE.

quantités positives. Les quantités incommensurables ne figurant jamais dans les calculs numériques que par leurs valeurs approchées, et, le logarithme d'une fraction pouvant s'obtenir par la différence de ceux de ses termes, la question radient en dernière analyse au calcul des logarithmes népériens des nombres entiers positifs*

L'emploi répété du développement (8) du n° 171 y suffirait, car il donne immédiatement, pour toute valeur de N au moins égale à i ,

d'où, en partant de /(i) = o, on déduirait successivement /(a), /(3), .... On remarquera la formule

Mais on obtient des séries d'une convergence infiniment plus rapide, en opérant comme il suit.

Pour j?i = I, ^ = I ± A, ce même développement donne

puis par soustraction

formule valable comme les deux précédentes seulement pour mod/i << i . En y faisant donc h = —^, > elle devient

série très rapidement convergente pour peu que N ne soit pas très petit. Elle fournit de proche en proche comme ci-dessus les logarithmes de 2, 3, 4) • • •• Cet artifice donne une idée des moyens