CHAPITRE y. — LOOARITHHB NIÎPBRIEN ET FONCTION EXPONENTIELLE

indirects par lesquels les calculateurs habiles savent abréger leur travail.

Les logarithmes sont en général des nombres incommensurables dont les Tables peuvent seulement contenir des valeurs approchées. Le degré d'approximation dont on se contente est déterminé par cette condition générale, que les erreurs, dont remploi de logarithmes inexacts peut entacher les résultats des calculs numériques, puissent facilement être maintenues audessous de celles que pourrait faire commettre la mesure directe des grandeurs physiques correspondantes. Les meilleures Tables usuelles donnent les logarithmes avec sept décimales exactes; si les artistes parvenaient à augmenter beaucoup la précision des instruments de mesure, il faudrait, pour n'en pas perdre le bénéfice, augmenter parallèlement l'approximation des Tables.

212. La fonction ^(Hl, x) étudiée dans le Chapitre III s'exprime très simplement au mojen de l'exponentielle et du logarithme népérien. D'après ce que nous avons vu au n" 80, le premier développement de cette fonction est

car la série représentée par T n'est pas autre chose que X(i -h /) qui fournit le premier développement de l{x) (171, II). On a donc identiquement, au bout de tous les chemins imaginables,

Comme l'exponentielle est indéfiniment ololrope et que le logarithme népérien ne cesse de l'être (localement) qu'en :r = o, cette valeur de x est la seule qui soit critique pour cette fonction composée. En étudiant la fonction <{/, nous avons vu ce qui s'y passe quand Ht est réel (102 et suis?.).

Pour VX imaginaire, cette fonction n^y est jamais olotrope; car l'adjonction à un chemin quelconque, d'un anneau direct enveloppant le point ^ = 0 augmente l(^x) de 27c/ et, par suite, multiplie la fonction par e"'*^', facteur qui ne peut être égal à I = e^-'^"^^ puisque ttl n'est pas un nombre entier (204).

'220 DEUXrÈMB PARTIE. — FONCTIONS D*UNE SEULE VARIABLE.

On notera la relation

provenant de ce que le facteur en question se confond nécessairement avec le multiplicateur $(în) du n® 90.

Pour rappeler à la fois les propriétés caractéristiques de cette fonction, identiques à celles des monômes à exposants entiers ou fractionnaires, et aussi les valeurs qu'elle prend quand m est réel commensurable, on écrit

212 bis. La formule (2) rend facile la discussion de x^ pour des valeurs de x infiniment petites ou infinies. En supposant par exemple ttl réel non = o, puis appelant \ le module de x, et /(Ç) la détermination réelle de son logarithme, on trouvera immédiatement

OÙ l'exposant est toujours infini, offrant le signe final + quand x est infinie avec îlt>>o, ou bien infiniment petite avec ni<Co, offrant le signe final — quand x est infinie avec în<[ o, ou bien infiniment petite avec Ht >> o. Cette fonction est donc infinie ou infiniment petite, selon qu'il s'agit des deux premiers cas ou des deux derniers.