CHAPITRE I, — FONCTIONS OLOTROPBS
nécessaires pour calculer eiïectivement toutes les racines de l'équation entière (i). Mais auparavant, et vu Timportance de la question, il n'est pas sans intérêt de voir qiCà lui seul il suffit, dans le cas qui nous occupe, pour établir V existence de quelque racine appartenant à Inéquation (i), c^est-à-dire l'équivalent de la proposition fondamentale du n" 9.
I. Comme /'(w) est indéfiniment olotrope et non identiquement nulle, Téquation
n'a, dans un espace limité, que des racines en nombre limité (4), et Ton peut trouver sans la moindre difGculté une quantité Uq donnant
/'(Mo)non = o.
Cette quantité ayant été choisie à volonté, nous poserons
(4) /{Uo) = ^Qf
et nous appellerons R^ une quantité positive quelconque supérieure àmodoTo*
II. Comme inodf(u) est toujours infini en même temps que modu (150*), on peut assigner une quantité positive R^ telle, que pour
on ait toujours
(5) inod/(tt) > Ro- > modaro.
III. Dans les plans servant à la notation graphique de u et de
décrivons, des origines 0«, O* pour centres, avec R^, Rj pour rayons, les cercles
(7) [0„, Ra], [0^,R;r]
dont le second contient évidemment Xo, dont le premier, par suite.
14 DEUXIÈME PAHTIE. — PONCTIONS D*UNE SEULE VARIABLE.
contient Wo, sans quoi el à cause de Tinégalité (5), ^o[=/(''o)] serait extérieur au second.
L'équation (3), ne pouvant avoir, à l'intérieur du premier cercle, que des racines en nombre limité, parce que/'(w) y est olotrope mais non identiquement nulle, n'y possède à plus forte raison qu'un nombre limité de racines
faisant tomber à l'intérieur du second cercle les quantités
Si l'une de ces quantités tt^'^ est nulle, l'équation (i) possède la racine b^'^, conformément à l'énoncé du théorème du n** 9 que nous avons en vue.
IV. Si, au contraire, toutes les quantités (9) sont différentes de o, appelons pj. une quantité positive inférieure aux distances des points correspondants soit à l'origine ^ =0, soit à Xq, soit à la circonférence [0^, Rx] ainsi qu'aux moitiés de toutes les distances mutuelles des mêmes points.
A cause de la continuité de/'(w), on peut assigner une autre quantité positive pu inférieure à la fois aux plus courtes distances des points (8) à la circonférence [0«, Rm], aux moitiés de toutes leurs distances mutuelles et, en outre, assez petite pour que, quel que soit i, le module de
/[bU) -H k] -/[b'')] =/[b('J -f- k] — a«'
soit inférieur à px toutes les fois que modX: est^p«.
Il est clair que les cercles de rayon commun pu, qui ont les points (8) pour centres, sont tous extérieurs les uns aux autres mais en même temps intérieurs au cercle [O^, R^], que les cercles de rayon p^, ayant les points (9) pour centres, offrent la même disposition par rapport les uns aux autres et au cercle [Oj., Rj?], qu'en outre aucun de ces derniers cercles ne contient les points x = Xo, x = o. Il est clair, par suite, que l'ablation faite aux cercles (7), de ceux qui viennent d'être définis respectivement, laisse deux aires limitées (perforées)
