CHAPITRE 1. — FONCTIONS 0L0TR0PE

jouissant de cette propriété que la première ne contient aucune racine de Téquation (3), que la seconde contient les points x = Xo^ a: = o pouvant y être réunis par une ligne brisée dont les côtés sont de petitesse arbitraire, qu^enfin le point (6) est toujours en dehors de la seconde quand u est en dehors de la première.

V. Cela posé, la fonction implicite u que fournit la résolution

de l'équation finie

accompagnée de la condition initiale

u = Uot pour T = JTo,

rendue admissible par Tégalité (4), est localement olotrope dans toute l'aire Sx (310*), parce que le premier membre de cette équation est fonction olotrope de x, u dans celte aire et dans S,^, parce quey'(w) sa dérivée partielle par rapport à u ne peut s'y évanouir et parce que la valeur de u ne peut sortir de Sa aussi longtemps que x reste dans S^*

Il suffit donc de calculer la valeur de u au bout d'un chemin tracé arbitrairement de x = Xq k x = o dans l'aire S^?, pour obtenir une racine de Téqualion (i); c'est ce que nous voulions prouver.

16. Une méthode élémentaire bien connue permettant de décomposer Téquation entière quelconque (i) en d'autres n'ayant toutes que des racines simples respectivement égales, pour la première aux racines simples de l'équation proposée, pour la seconde, la troisième, ... à ses racines doubles, triples, . . . , nous pouvons admettre que cette équation n^a que des racines simples et procéder comme il suit à sa résolution elleclive.

L En supposant connues les racines (lo) b', b', ...

de l'équation (3) qui n'est que de degré effectif M — i , en appelant

(il) tt', û', ..., tt<C)

celles des quantités /(b)= il (toutes non nulles) qui sont numériquement distinctes, en désignant toujours par Uq une valeur de u

non égale à quelque terme du groupe (lo) et par Xq la quantité /(lio)j il est évident que la fonction implicite définie cidessus (15, V) est localement olotrope aussi longtemps que x ne prend aucune des valeurs (i i), et qu'à partir de chaque nouvelle valeur initiale xi de cette variable, son développement en série entière par rapport à x — Xi admet pour rayon de convergence toute quantité positive inférieure à la plus courte des distances de Xi aux points (i i) (201*).

II. On obtiendra donc les M racines cherchées (H) en calculant les valeurs de cette fonction implicite au bout de tous les chemins tracés de x = Xq kx = o sous la seule condition que les longueurs de leurs côtés n'excèdent jamais les rayons de convergence indiqués ci-dessus (I).

Comme deux de ces chemins conduisent toujours à la même valeur finale quand ils ne sont séparés par aucun des points (i i) ( 173*), on se bornera naturellement à la considération de ceux que un ou plusieurs de ces points sépareraient, et Ton s'arrêtera quand on aura obtenu M valeurs finales inégales.

III. La résolution de Téqualion (i) étant ainsi tamenée à celle de l'équation (3), dont le degré est moindre d'une unité, et à des développements en série en nombre limité, toute équation du premier degré étant d'autre part immédiatement résoluble, on voit ainsi que des développements en nombre limité fourniront toujours toutes les racines demandées,

IV. Au lieu de chercher les diverses racines par des cheminements exécutés sur des chemins différents, on peut évidemment en calculer une seule a^ sur un chemin quelconque, puis chercher de la même manière une racine ^2 de l'équation

et ainsi de suite.

V. On notera que le tracé de chemins praticables exige seulement une connaissance suffisamment approchée des quantités (i i) [ou (îo)]. Chacun des deux procédés ci-dessus peut donc fournir exactement les racines de l'équation (i), aussitôt qu'on