FONCTIONS CIRCULAIRES

Tangente et cotangente.

215. L'inversion de l'intégrale indéfinie d'une différenlîelle rationnelle, qui nous a conduit à la fonction exponentielle dans son cas le plus simple, donne encore quelques fonctions, non plus indéfiniment olotropes comme celle-ci, mais indéfiniment méromorphes; nous allons étudier les plus intéressantes.

En représentant par p {a) ^ P(^) deux polynômes entiers, de degrés effectifs A:, k, sans dis^iseur commun, la condition nécessaire et suffisante pour que toutes les intégrales de l'équation différentielle

du ^ p(u)

^ ^ dx |l(M)

soient indéfiniment méromorphes est que Von ait

Considérons l'intégrale particulière précisée parla condition initiale u = Uo pour X = ^o> en supposant que Uq n'annule pas />( w), sans quoi cette intégrale serait u = Uq identiquement,

r. Si l'on avait k>o, le dénominateur 9(u) aurait quelque zéro b (13), (15), et comme la fonction inverse x de u satisfait à l'équation difierentielle

du- p{u) ^^^^' quelque valeur û de j: rendant m = b serait finie; car on en trou-