II. L'hypothèse k = o réduit Téquation (i) à la forme

et l'hypothèse Ar ^ 2 rend finie quelque valeur a de j? pour laquelle u

devient infinie. Des valeurs de ce genre sont efi^ectivement fournies

par la formule

r* du

en prenant l'intégrale sur quelque chemin tracé de Uq à l'infini sans passer par la valeur a = o ni par les zéros de />(</), et cette intégrale est essentiellement finie : car la substitution u= - (334*) la change en

dt,

où le chemin d'intégration, tracé par les valeurs de t= -9 peut

maintenant être supposé limité, parce que u ne passe pas par la valeur o, et ne contient évidemment que des valeurs de t, ordinaires pour la fonction placée sous le signe /.

Or, si l'on avait Ar]> 2, l'inverse arithmétique (^ = - de l'intégrale w, qui prend la valeur t^ = o pour x = 0Lj n'y serait pas olotrope; elle satisfait efiectivement à l'équation différentielle

dx

c'est-à-dire

ds^

dx ç»^-*

où le second membre est le quotient de deux polynômes entiers en V, san? diviseur commun, dont le second s'annule pour i^ = o (I). L'intégrale u ne serait donc pas méromorphe en ^ = a, puisqu'elle y serait infinie sans que son inverse arithmétique y fûl olotrope (42).