En prenant

l'équation difi^érentielle (2) devie*^*

du

(5) aï = «*+'.

et ses intégrales, toutes indéfiniment méromorphes (215, IV), jouissent de propriétés relativement simples et intéressantes. Celle que détermine la condition initiale

(6) w = o, pour a?=o,

se confond pour les valeurs réelles de x^ avec la fonction connue

dès les éléments sous le nom de tang;r. En lui conservant cette

M. — II. i5

notation, les considérations précédentes fournissent bien facile ment son expression au moyen de rexponentielle. Dans les formules (3), (4) il faut faire

^ = I, a — — h^i\ la première devient

puis, pour :r = a = o,

o = Ch-— . — i) = C-4- -^-Arir (186), (185, I}.

d'où, par exemple,

(8) C = -^; la seconde devient alors

(9) '^^ = e'^r"*"») = e'«eS'> = - e*'* (197), (20J, VI),

et donne

(10) " = langer = ii^-î^^.

217. La formule précédente combinée avec les propriétés générales de la fonction exponentielle fait connaître immédiatement toutes celles de tang^.