I. Les infinis de tang^ sont les quantités réelles

(II) - -H A-TÎ,

Ji —

car ce sont les zéros du dénominateur i -h e^'* = e^'* — e * (201 , Vly , (204), qui ne peuvent annuler le numérateur. Ces derniers étant tous simples parce que la dérivée ate^'* ne peut s'évanouir (196), les infinis en question sont simples aussi (31 et suiv.).

II. Le développement de lang(^-4-/t) par la formule de Tajlor est donc possible toutes les fois que x ri! a pas une des

CHAPITRK VI. — FONCTIONS CIRCULAIRKS. 227

valeuF's (il) ei que modA est inférieur à la plus courte des distances de x aux mêmes valeurs singulières (201*).

En faisant u = tango: dans les expressions ultimes des dérivées de u tirées de l'équation différentielle (5) (290*), on obtiendrait les coefficients de ce développement sous forme de polynômes entiers en tangj?; mais les calculs se compliquent rapidement (*).

III. La fonction tango: admet la période ihn (204) gui est élémentaire (260, inf); car Téquation numérique en X,

tangX = tangT, revient à

d'où Ton lire immédiatement (204)

IV. A cause de cette périodicité commune tant de tango: que de ses infinis (I), tous les résidus de cette fonction ont la même

valeur (56), (2o2, inf.). £a faisant tendre x vers l'infini -> on trouve pour le résidu correspondant

i.lini(i — e^'^).lim

Six

Le second facteur est égal à i — e''^= 2; le troisième a pour

valeur le rapport de celles que prennent pour x = - les dérivées

des deux termes de la fraction correspondante (46), c'est-à-dire

. . = ;' // reste donc

pour valeur commune de tous ces résidus»

(*) En dehors de cas très simples dont le nombre est extraordinairement petit, nous sommes dans l'ignorance la plus profonde sur les expressions générales des coefficients des développements des fonctions. 11 y a là sans doute matière à bien des recherches intéressantes. Ces ténèbres épaisses ont été cependant percées çà et là par la perspicacité de M. D. André, mon ami et regretté Collègue, dont le talent sur l'Analyse combinatoire est tout à fait hors de pair. En particulier, il a donné ces expressions sous les formes les plus élégantes pour les développements de lang^ et de sêca? {Comptes rendus, t. LXXXVIII, 1879).

V. Six = x' -\-ix" est infini, tang^ tend vers ±i quand ±x*^ est infini positif .

Car on peut écrire

tang3r = /. -,.,> ,^> >

où, à cause de la réalité de x\ x", e*'-^' conserve i pour module (201, II), où e-^jrv es^ infiniment petit dans le premier cas, infini dans le second (201, I).

Mais quand x" n'est pas infini ai^ec un signe final invariable, cette fonction est évidemment indéterminée ,

Elle possède à l'infini une singularité essentielle (259, inf),