CHAPITRE I. — FONCTIONS OLOTROPES

a résolu l'équation (3) avec une approximation dépendant des circonstances.

Le second (IV) n'exige même que la construction (relativement facile) d'une aire limitée et imperforée ne contenant ni X = o, ni X = jTo, mais à laquelle tous les points (i i) soient intérieurs. Car alors, pour avoir une racine, il suffit de cheminer dexo à o, à l'extérieur de cette aire.

VI. Ayant seulement en vue la résolution théorique des équations entières, il nous suffit d'avoir indiqué cette méthode qui semble la plus directe et la plus naturelle. Quant aux artifices, d'ailleurs très variés, à l'aide desquels on abrège le calcul approché des racines des équations numériques, ce n'est pas ici le lieu d'en parler.

Propriétés spéciales des fonctions olotropes qui sont réelles

en môme temps que la variable.

17. Si le rôle théorique que nous faisons jouer aux quantités réelles est à peu près nul, elles interviennent exclusivement dans les applications; et comme les fonctions d'une seule variable y tiennent la plus grande place, nous consignerons ici plutôt qu'ailleurs diverses propositions générales sur les fonctions réelles, dont on fait un usage presque continuel dans les discussions numériques.

Si, entre certaines limites, une fonction olotropef{xj y, . . .) a une valeur réelle pour toutes les combinaisons de valeurs réelles des variables, ses dérivées de tous ordres y jouissent de la même propriété.

En supposant réelles et tombant entre les limites considérées les quantités x^y, . . . , j: -h A, jk -+- A", . . . , la quantité

est toujours réelle par hypothèse. Si, en outre, on suppose assez petites les valeurs numériques des accroissements A, /r, . . . , la formule de Taylor

f{x ^h.y~\- k, . . .) = X{a,n,n.„.fi'"k" . . .)

est applicable et donne la série entière en A, A-, . . - ,

pour second élément de la même quantité, en appelant a^, ,, celui

de «/»,/!,....

La réalité constante de fi^x -|- A, ^ + A', . . ,) exige donc que la somme de la série (i) soit nulle pour tous les systèmes de valeurs réelles de A, A*, • . ., et par suite, puisque chacune de ces valeurs peut varier arbitrairement et indépendamment des autres dans un espace limité, que l'on ait «w,ff,...= ^> quels que soient les indices w, /?,... (135*), c'est-à-dire que ««,«,... soit toujours

réel. Or, aux facteurs réels près, ces coeffi-

cients sont les valeurs des dérivées de tous ordres de/(a:, ^', . . .).

18. La fonction d^une seule variable J{x) étant supposée olotrope et réelle dans V intervalle réel X'<;X", c^est-à-dire pour toute valeur réelle de x satisfaisant aux inégalités

V accroissement f (a '\' 11) — /(a) qu^elle subit quand on attribue à Xj à partir de la valeur fixe a prise à volonté dans V intervalle considéré, un accroissement infiniment petit h réel et de signe constant, finit aussi par conserver un signe constant.

En exceptant, bien entendu, le cas où f{x) dégénère en une constante, et en appelant m l'ordre de la première de ses dérivées qui n'est pas nulle pour^ = a, la formule de Taylor donne immédiatement

e désignant une quantité réelle qui tend vers o en même temps que h.

Le dernier facteur conserve le signe de son premier terme, à partir du moment où la valeur numérique de e reste inférieure à celle de ce premier terme. Le premier facteur conserve, lui, le signe -I- si A reste positif ou si m est pair, le signe — si A reste