CHAPITRE VI. — FONCTIONS CIRCULAIRES
seulement, par suite, si Ton y remplace^* par ^{x) en vertu de Vëquation (2). En multipliant ensuite les deux termes de cette dernière fraction par N — N'j^, il viendra
(MN — M^N>^)-h(M'N — MN^)y
X, P, P|, P' désignant encore des polynômes entiers en a;; on en conclut
et la première intégrale du second membre de cette formule de décomposition donne Texpression désignée par ^{x) dans notre énoncé.
II. Quant à la deuxième, si Ton décompose la fraction rationnelle y ^^ monômes entiers et en fractions simples (52), elle deviendra une fonction composée linéaire d'intégrales des formes
ei
dx r dx
/dx r dx
(x-ay/y J u--u/>
711, q, r, . . . étant des exposants positifs et U, b, ... des constantes inégales.
III. Cela posé, en appelant pi un entier positif quelconque, on aura identiquement
Dx{^^-^y) = ( Hi — \)x[^-^y ■+- x\i--^ Djcy
OÙ, à cause de l'équation (2), l'expression entre crochets est un polynôme entier en x,
238 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS d'UNE SEULE VARIABLE.
de degré effectif A: — 2 + |jl ; car, en appelant ao le coefficient de x^ dans f (^), lequel est essentiellement non = o, on a
Ar=(i--'+^)«..
quantité qui ne peut s^évanouir. En intégrant donc les deux membres de l'identité précédente, il vient
(.0 ..-.^=Ar/î^^^^Ar/^^'^---An../f •
Maintenant nous distinguerons deux cas.
1*» Si /r = i, nommons M — i le plus grand des exposants m dans les intégrales (9), et faisons successivement p. = i , 2, . . . , M. La relation précédente donnera M équations dont la résolution fournira, linéairement par rapport à
les expressions des M intégrales de la forme (9) où m ne surpasse pas M — I . Effectivement ces équations sont linéaires, et le déterminant des coefficients de ces intégrales s'y réduit à A„ ' AJ,^' . . . AJ*\ produit non = o comme chacun de ses facteurs.
2° Si A>i, nous appellerons M l'excès sur k — 2, du plus grand des exposants m dans les intégrales (9), et nous ferons encore [a = i, 2, . . ., M. Les M équations fournies par la relation (i i) ne pourront plus être résolues par rapport à la totalité des k — 2 + M + I intégrales qui figurent dans leurs seconds membres; mais, pour la même raison que ci-dessus (1®), elles donneront les M d'entre elles où m surpasse k — 2, exprimées linéairement au moyen des fonctions (12) et des intégrales (7).
. IV. En appelant enfin y^ un entier positif quelconque, on aura encore identiquement
Ce dernier facteur entre crochets est un polynôme entier en ;r , de degré égal à A" en général (moindre toutefois si — '/-t- ' H — = o ) ;
