CHAPITRE VI. — FONCTIONS CIRCULAIRES

après l'avoir mis sous la forme

(i4) B'^^'-hB7'(x-a)-hB;>C>(ar — o)« -+-... -h B2C'(^-tt)^

nous distinguerons deux cas.

I® Si a est un zéro de 'f(^), le polynôme (i4) est divisible par X — CI, mais non par [x — û)^; car le quotient de sa division par X — a est

expression qui, pour a: = II, prend la valeur ( — y-4 — )?'(^)

essentiellement différente de zéro, puisque cp(^) n'a pas de zéro multiple et que '^ est un entier. On a donc B'^^'= o, Bj^'non = o, et la relation (i3) devient, après intégration,

Ici faisons successivement ^ = 2, 3, . . . , Q, Q + i , en appelant Q la plus grande valeur de l'exposant q dans celles des intégrales (10) impliquant des puissances du même binôme x — (1. Il viendra Q équations du premier degré, permettant d'exprimer linéairement au moyen de

et des intégrales

<'") JT' y-T— ' •••' J- -y '

lesquelles s'expriment linéairement d'elles-mêmes au moyen des intégrales fondamentales (7), les Q intégrales de la première des formes (10) où y a les valeurs 1,2, . . . , Q (en particulier celles que nous avons à considérer). Effectivement le déterminant des coefficients de ces Q intégrales se réduit à Bi^'B''' . . . Bi^"^*^, quantité encore non = o.

2® Si tt n'est pas un zéro de o{x) et si y^ est > i, le coefficient BJX^ du polynôme (i4)j savoir ( — /-+" 0?(^)j ^^^ essentiel-

lement difTérent de zéro, et l*intégration de la relation (i3) donne

(a:-fl)~-X^-i^ = B'-/' f ^^^ -f- B'X' f- ^^

+ B7Yr- ' V. •

En faisant ici y= 2, 3, .,., Q, il viendra Q — i équations simultanées du premier degré, où le déterminant Bi'^BJî^^ . . . B^J^' des coefficients des Q — i intégrales de la première des formes (10) dans lesquelles q a les valeurs 2, 3, . . ., Q n'est pas nul; par suite on en pourra tirer celles de ces intégrales oîj g' > i en fonctions composées linéaires de

des intégrales (16), par suite des intégrales fondamentales (7)^ et finalement de l'autre intégrale fondamentale (8).

V. Si l'on opère de même pour toutes les autres intégrales (10), et si l'on réunit tous les résultats obtenus, on arrive bien à la formule de réduction spécifiée dans notre énoncé; car le groupe des expressions (12), et (i5) ou (17) selon qu'il s'agit du cas i® ou 2° de l'alinéa IV, donne ce que nous avons appelé \j{x)y.

22o. La proposition précédente a une grande importance parce qu'elle ramène toutes les intégrales (i), où le poljnome ç(^) est le même, aux expressions (5), (6) qui sont connues, et aux intégrales fondamentales (7), (8) qui ne le sont pas, mais dont le nombre est essentiellement limité, si du moins on considère comme se confondant dans leur essence, les déterminations de l'intégrale (8) qui correspondent aux diverses valeurs du paramètre a.

La facilité extrême avec laquelle le théorème du n® 223 permet de passer de celles des intégrales (i) où^=:2n — i à celles où A* = 2 71, et inversement des dernières aux premières, a fait ranger les unes et les autres indistinctement, dans une seule classe caractérisée naturellement par la valeur correspondante du nombre n.

Quand on a n = i, c'est-à-dire /: = 1 ou = 2, les intégrales (1) sont dites circulaires, parce que l'une d'elles fournit l'expression

CHAPITRK VI. — PONCTIONS CIRGULAIRI8. 241

de la longueur d^un arc de cercle en fonction des coordonnées rectiiignes de ses extrémités; ce sont les seules dont nous nous occuperons dans le présent Chapitre.

Si /i = 2, c'est-à-dire si A* =3 ou =4, les mêmes intégrales sont dites elliptiques, parce qu'on en rencontre toujours une en calculant de la même manière la longueur d'un arc d'ellipse; nous en parlerons longuement dans les Chapitres VIII et suivants.

Pour n >• 2, c'est-à-dire pour A" > 4> oi* a les intégrales ultraelliptiques; nous n'avons pas à faire leur étude qui se rattache à la théorie générale des intégrales abélîennes.

S26. Le calcul des intégrales circulaires est dominé par cette observation générale, que toutes sont exprimables au moyen des fonctions rationnelles, radicales et logarithmiques étudiées dans les Chapitres qui précèdent celui-ci. En conservant pour y(^) la notation du n^223, et en représentant par r(5) comme au n® 224 quelque composante rationnelle et logarithmique, provenant de l'intégration d'une certaine différentielle rationnelle en Sj on a effectivement cette proposition.

L'intégrale (i), supposée circulaire, a pour expression :

si A: = I ,

(i8) v(v/a,^^T^) = rW?î7)\ ;

si A* = 2,

I. En supposant A' = i , appelant s une nouvelle variable d'intégration, et posant

d'où

s^ — at , is ,

l'intégrale (i) se change en

M. — II. i^>

t42 DEUXIÈME PARTIE. — PONCTIONS D'UNB SEULE VARIABLE.

et la fonction de s placée maintenant sous le signe / est rationnelle. Celle dernière intégrale est donc de la forme ^(5), et la

substitution inverse s = y/aj -|- 6, a; = \/cp(a:) conduit bien pour la proposée à ^expression (18).

II. En supposant enfin k = ^, nous exécuterons d'abord la deuxième substitution du n° 223 en prenant

a = i, p = — as, Y = o, 0 = 6,,

pour annuler le coefficient de t dans le second facteur de '!^(l), c'est-à-dire en faisant

Il vient ainsi

moyennant quoi (1) l'intégrale (1) exprimée en fonction de t est de la forme

Il suffit maintenant de transformer celte fonction par la substitution inverse de (21), savoir

r ai -h bfX

pour obtenir l'expression (19).

227. D'après ce qui précède, il est évident qu'en composant la substitution (21), rationnelle et du premier degré en ^, avec la substitution entière et du second degré en 5,

bti^aibi — Uibi/

c'est-à-dire en exécutant une seule substitution rationnelle mais du deuxième degré en Sy on rend rationnelle dans le dernier des cas ci-dessus la différentielle de l'intégrale circulaire considérée. Comme la substitution (20), qui jouit de la même propriété dans le premier cas, est aussi rationnelle (même entière) et du deuxième degré, une substitution convenable de cette sorte peut toujours