CHAPITRE VI. — FONCTIONS CIRCULAIRES

ramener le calcul d^une intégrale circulaire à V intégration d'une différentielle rationnelle.

Cette remarque est la base des procédés en usage pour le calcul pratique des intégrales circulaires; mais ce que nous avons à en dire sera mieux placé dans notre troisième Partie.

228. On peut exécuter aussi le calcul d'une intégrale circulaire, en la ramenant d'abord à ses intégrales fondamentales par la réduction expliquée au n° 224, puis en appliquant à ces dernières, qui sont fort simples, la méthode du n® 226.

I. Pour /.- = 1 , il y a une seule intégrale fondamentale que nous écrirons

, . r du

J {il — a) /G {u — a)

en appelant désormais u la variable d'intégration et G, a, û trois constantes, la première non = o, les dernières inégales. La substitution

d'où

du = 25 ds,

change cette intégrale en

I r ids __ I r/ I I

ds

La substitution inverse s=^\/u — a donne pour expression définitive de l'intégrale cherchée (22)

(.3) . ^Iv^-V^I^G.

/G (a — a) Lv" — a -{- /a — a\

IL Pour A: = 2, il y a une seule intégrale fondamentale At première espèce et une seule aussi de dernière espèce, que nous

écrirons respectivement

J (u — a)yO{u — a){u —

OÙ les constantes G, a, 6, D sont la première non = o, les trois autres toutes inégales.

1^ La substitution (âi), qui est ici

d'où

du = - -- di,

change l'intégrale (24) en

df

c'est-à-dire, au signe près, en ce que devient l'intégrale (2*2) quand

on y remplace 1/, G, a, a par ^, G(b — a), ^ , » o. Celte dernière a donc pour expression (()

■^ L\/''-î^*vV-^J

que la substitution inverse t= — —y change facilement en

2** L'expression de l'intégrale (26) s'obtiendrait de la même manière; mais on opère plus rapidement en y faisant la substitution w == a -i — J qui la ramène immédiatement à la précédente. Le résultat de ce calcul n'a rien d'intéressant pour nous.