CHAPITRE VI. — FONCTIONS CIRCULAIRES

229. L'ambiguïlé des expressions (28), (26) se lève par des moyens fort simples dont le principe est applicable aux cas analogues qui se présentent à chaque instant.

La détermination de chaque radical écrit plusieurs fois doit naturellement être partout la même. Il faut en outre que celles des radicaux constants et les valeurs initiales des radicaux variables soient choisies de manière à assurer l'identité des premiers développements, tant de la dérivée de l'expression considérée, que de la détermination adoptée pour la fonction placée sous le signe J dans l'intégrale (1). On assigne enfin au logarithme une quelconque des valeurs initiales dont il est susceptible, puis à la constante arbitraire une valeur telle, que l'expression considérée ait bien pour valeur initiale celle qu'il aura plu d'attribuer à cette intégrale.

230. Voici, le plus intéressant des résultats fournis par l'inversion des intégrales circulaires.

L^ inverse de ^intégrale de première espèce (26) est une fonction indéfiniment olotrope qui est réductible à volonté, soit à une fonction composée rationnelle et du deuxième degré d^une seule exponentielle à exposant linéaire, soit à une fonction composée linéaire de deux exponentielles de cette sorte, dont les exposants sont égaux et de signes contraires.

En égalant à x l'expression (26) de cette intégrale et tirant de l'équation ainsi formée la fraction sur laquelle porte le signe /, on trouve d'abord

V u — b puis^ sans difficulté,

gV^(J-C)i g-v'Ô.r— 1.)^ ,

(b — ^ i/r,^ r, b — a TT^p b -^ a

fonction de x évidemment olotrope dans toute l'étendue du plan,

comme chacune des deux exponentielles dont elle est linéairement composée.

La combinaison de celte formule avec les propriétés générales de Texponentielle fournit toutes celles de la fonction w, et de même pour sa fonction inverse (26), en utilisant les propriétés des radicaux et du logarithme; de même encore pour loules les autres intégrales circulaires. Il nous suffira amplement toutefois d'étudier les déterminations particulières dont nous parlerons dans le paragraphe suivant.

Remarquons enfin que la même fonction étant naturellement l'intégrale générale de Téquation différentielle

du

de même forme, plus simple encore, que Téquation différentielle fondamentale de la théorie des fonctions elliptiques (299, //i/.), ses propriétés générales, à elle-même et à sa fonction inverse, pourraient être déduites de cette équation par la méthode directe que nous serons forcés de suivre au numéro cité. Mais cette considération même nous dispense de faire connaître ici la méthode dont il s'agit; il importe, au contraire, de prendre la formule (27) pour base de la théorie qui va suivre, afin de laisser tout à fait en évidence sa connexitc très étroite avec celle du logarithme et de l'exponentielle.

Sinus et cosinus.