CHAPITRE I. — FONCTIONS OLOTROPKS

négatif avec m impair. Donc le produit finit par être toujours de quelque même signe.

19. En a: = a, la fonction y(j:) est dite croissante ou décroissante, selon que pour des valeurs positives attribuées à h le signe final de Taccroissement (2) est -h ou — .Le théorème ci-dessus montre immédiatement qu'//^ a croissance ou décroissance selon que la première des dérii^ées de f{x) qui n'est pas nulle en a est positive ou négative.

Comme, dans l'intervalle considéré, /'(a;) ne peut s'annuler que pour des valeurs de x en nombre essentiellement limité, sans quoi elle y serait identiquement nulle (4) et /(x) dégénérerait en une constante, c'est le signe de cette dérivée première qui, habituellement, servira de critérium.

20. Pour que le signe final de l'accroissement (2) soit indépendant de celui de A, il faut évidemment et il suffit que m, ordre de la première des dérivées de/(^) qui ne s'annule pas pour x =^ o, soit un nombre pair; il faut donc en particulier que f'(a) = o. Comme h"* est alors toujours positif, ce signe final est celui môme de y^'"^(a). Selon qu'il est -|- ou — , on dit qu'en a la fonction est minimum ou maximum. On se trouve ainsi dans le premier ou le second de ces deux cas, selon qu'on a/^'"^(a)^o. Dans la troisième Partie de cet Ouvrage, nous approfondirons les considérations de ce genre.

21. Dans l'intervalle X'< X", la fonction /(a:) est dite croissante ou décroissante, selon qu'elle jouit soit de l'une de ces propriétés, soit de l'autre, pour toute valeur de x tombant dans cet intervalle.

Si f{x) est croissante dans l'intervalle en question, on a l'inégalité

Supposons d'abord que f{x) ne s'évanouisse jamais entre X' et X", cas auquel (186*) on peut y assigner à sa valeur absolue

^20 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D'UXE SEULE VARIABLF.

quelque limite inférieure fixe /^o, et écrivons d'après la formule de Taylor

Nous savons (200*) qu'on peut assigner à mody(^, h) quelque limite supérieure fixe u, pour toutes valeurs de x tombant dans l'intervalle considéré et de h numériquement inférieures à quelque quantité positive s. A partir du moment où la valeur absolue de h sera inférieure à une quantité positive r^ inférieure elle-même à la

fois à £ et à —> le dernier facteur du second membre de la rela-

tion (4) aura le signe de /'(^r), savoir le signe -h puisque /(or) est supposée croissante, et si l'on prend h >► o, ce second membre sera aussi positif.

En partageant donc l'intervalle considéré par des points de division :C|, X2', . ' ', Xg en nombre limité, et donnant

ce qui est évidemment possible, la relation (4) conduira successivement à

/(X'-+-^,-X') -/(X')=/(rO-/(X')>o,

d'où l'inégalité (3) par une addition membre à membre.

Supposons enfin que f'{x) s'évanouisse entre X', X", et soient «i, «2, ..., ..., Oh', rangés par ordre de grandeur, les zéros qu'elle y possède, en nombre essentiellement limité (4). Comme /'(«« + A) finit par conserver le signe + quel que soit celui de l'accroissement infiniment petit A puisque y( a:) est croissante, il faut que la première des dérivées de f'{x) qui n'est pas nulle en .r = rt, soit d'ordre pair (20), c'est-à-dire que la première de celles de f{x) qui jouit de la même propriété soit d'ordre impair 27 -H I. Il faut de plus que /^^^^^^(ai) soit positive à cause de la croissance de f{x) en «,. La formule de Taylor donne ainsi

/(a, hA)— /(«!)= Aî'/^i( Ah- £),