CHAPITRE VI. — rONCTIONS CIRCULAIRES

dont la combinaison avec les dernières écrites dans les lignes (12), (i5) conduit à

cos(— a? -^ 7r)= — cosar, sin( — x)= — sinx.

233. La nature des racines (11), (i4) trouvées ci-dessus aux équations (10), (i 3) montre que le cosinus et le sinus sont des /onctions périodiques (204), avec la même période ± itz qui est élémentaire (260, inf,).

Les identités (16) confèrent à nos deux fonctions une périodicité imparfaite relativement à leur demi-période r.

234. Les zéros du cosinus et du sinus s'obtiennent en résolvant les équations numériques

cosa: = o, sin;r = o.

A cause de la formule (5), la dernière peut s'écrire sinj; = sino, d'où (232) X =

..., — 3iT, — 21^, — iT, o, t:^ 2*7r, s*:!, .... La première écrite sin ( - — x\^ sin o donne x --

71 TZ Tt 7C TZ

.... 211, — — TT, — y — -T-'T, — -4- 27^, . . • ,

Ces zéros sont tous simples (3), car chacun dç ceux d'une fonction diffère de tous ceux de l'autre, et, par suite, ne peut annuler cette seconde fonction, c'est-à-dire la dérivée de la première au facteur numérique ±: 1 près (231).

235. Les coefficients des séries (4), (5) étant réels, les valeurs du cosinus et du sinus le sont aussi pour toutes les valeurs réelles àe X) il est facile maintenant de les discuter; nous le ferons pour le sinus entre o et 2 7t, ce qui est suffisant à cause de sa périodicité.

Comme ûnx n'a aucun zéro entre e, quantité positive infiniment petite, et tz — e, il conserve un signe constant dans cet intervalle (22); ce signe est -4- parce que, D smx = qosx se réduisant à I pour x=iO d'après la formule (4)? sino; est croissant en j; = o

(19), (21), et d^aîlleurs =o. Mais, comme ses zéros sont tous simples et réels, sin:z; change de signe en chacun d^eux (18) et prend le signe — de — lï-f-eà — e.

Il en résulte, diaprés la seconde des relations (8), que cosx

est positif de o à -; e, négatif de - -t- e à t:; on a, d'autre part,

sin- :=coso=: I. De x = oàj;=-»le sinus croît donc deo à i :

de X = — k X = 71^ il décroît de i à o. Après quoi, la seconde des

relations (i6) montre que, de it à ^ ti, sina; décroît encore de o à — I, que de |it à 2 7C, il croît de — i à o.

236. Les relations de définition (3), combinées avec les propriétés fondamentales de Texponentielle et les identités évidentes

(17) «''■'= COS 37 -4- «sin 37,

(18) e ''* = cosa7 — isinx,

donnent facilement les formules

!cos(a7z^:j^)= cosarcos^u: sinarsin^, s\n{xzLy)= sinrrcosj^ d cosa? sin^,

pour Y addition {oxx la soustraction) des arguments dsius le sinus et le cosinus.

On peut en déduire de proche en proche celles relatives à la multiplication de Targument, et aussi à sa division. Mais il y a pour cela une autre méthode bien préférable que nous indiquerons plus loin (244, inf,).

237. Les relations (19) fournissent facilement les éléments du cosinus et du sinus. La première donne, par exemple,

cosa: = cos(a7'-f- la?') = cosa?' h isinar' •

Le premier terme du second membre et le coefficient de i dans le dernier, étant des quantités évidemment réelles, sont précisément les éléments de cosj;; de même pour sinx.

238. La formule précédente facilite la discussion de cos^ pour des valeurs infinies de la variable.