CHAPITRE VI. — FONCTIONS CIRCULAIRES
D'une part cosor', sinx' ne peuvent jamais s'évanouîr en même temps, à cause de la relation (6); d'autre pari, pour x^^ infini, Tune des exponentielles e^, ^""^est infinie, Tautre infiniment petite. Il en résulte que, si j:"est infini, cosj: l'est toujours aussi ; que sinon jc' est infini et cos j; indéterminé. Les choses se passent de même pour sin j;. Chacune de ces fonctions possède une singularité essentielle à l'infini (2o9, «/?/.).
239. On représente par arc cosx, arcsinx, les fonctions inverses {/ fournies respectivement par la résolution des équations
(20) . COSïl = ;r, (•21) sin u = X.
On trouverait immédiatement leurs expressions logarithmiques et radicales en réalisant les hypothèses numériques (i), (2) dans la fonction (26) du n"228, après y avoir écrit j;à la place de u ; mais,
comme on a arccosj:= arc sin j; (231), il suffit d'étudier
cette dernière fonction, et il vaut mieux la tirer de l'équation (21) transformée par la substitution à sinc^ de son expression rationnelle en e'", fournie par la seconde des relations (3). Cette équation devient ainsi
et donne d'abord
tf'" = ix H- /i — x^, puis
(21) M = arc siniF = -r /(i-c -h y/i — -a;*).
Cette fonction composée peut cesser d'être olotrope seulement pour les valeurs de x annulant, soit l'expression placée sous le signe /, soit le radical (187), (125). Les valeurs du premier genre n'existent pas, à cause de l'identité évidente
Les seules phases critiques de arc sinx correspondent donc à
Ce sont même des phases singulières; effectivement quand x est très voisine de di i, on peut développer le logarithme de la formule (22) en la somme de l{ix)^ fonction olotrope, et d'une série
procédant suivant les puissances entières de la quantité — -. — »
alors très petite (171) ; or la somme des termes de la série où celle quantité est affectée d^exposants impairs ne peut évidemment être olotrope en 57= ib 1. La méthode des n°' 141 et suiv., appliquée à la résolution de l'équation (21) à partir de x = =b i , donnerait des développements rhizomorphes (153).
L'équation différentielle (24) du n'*242, «/?/., rend d'ailleurs ces
divers points évidents, en montrant immédiatement que -j- n'a d'autres phases singulières que x = ±: i (165*), (125).
240. En appelant u quelque valeur de arcsinx, toutes celles qui correspondent à la même valeur de :r et à la même détermination du radical sont de la forme
u -h m — ^ = M -,- /Il . 1 TZ.
Celles qui correspondent à la détermination opposée du radical
sont de la forme
car l'identité (aS) donne
l{ix -T- ^i — x^)-\- l[ix — /i — X-) = l{ — i) = i^-Tz-h m.ir.). Ceci s'accorde avec ce qui a été dit au n'* 232.
241. Les incidents du calcul de arc sin:r par cheminement sont intéressants à étudier. Tous les chemins à considérer se composeront ici d'un chemin simple précédé de quelque combinaison des deux boucles (4- i), ( — i), enveloppant +1 et — i, seules valeurs de X qui soient singulières pour cette fonction.
Nous prendrons j:o = o> la valeur initiale du radical =-f-i, celle du logarithme = o. Nous tracerons le chemin simple [oX] arbitrairement, sauf la condition de ne contenir ni -|-i, ni — 1, et nous appellerons U la valeur finale de arc sin^ à son extrémité X.
