CHAPITRE VI. — PONCTIONS CIRCULAIRES

Nous composerons la boucle (-f- i) : i** du segment [o(i — e)] de Taxe des quanlités réelles, allant de Torigine au point i — e, où e est une quantité positive très petite; 2® d'un anneau également très petit [-{- i], commençant en i — s et y finissant après avoir enveloppé une seule fois le point -h i *, 3° du même segment [0(1 — e)] parcouru en sens inverse. Pour la boucle ( — 1), nous prendrons la symétrique par rapport à l'origine 0^, de celle qui vient d'être tracée.

Posons

IT ■+- /l — J?â = (^ = p'-T- iv"^

et plaçons d'abord la boucle (+1) avant le chemin simple.

Pendant que x marche de o à i — s sur le segment [0(1 — e)], on a

''= v/i — -rs

parce que x et le radical restent réels; d'autre part, v' décroît sans

cesse de -h i à -f- v^s ( a — e), i^' croît de o à i — e , et l'on a constamment ç;'2 | ç/'2 - , ^ Il en résulte que le point v se meut dans le sens de rotation direct sur la circonférence [O»/] ayant Oy pour centre et i pour rayon, en passant de i^ = i à

point très voisin de v = /'.

Sur l'anneau [+ i], a; reste très voisine de i , le radical de o, et r

de i\ après son parcours, le radical écrit i{x — i)*(^ -i- 1)* revient

en I — e avec la valeur finale — ^^{,'>- — s)» produit de sa valeur

initiale -f- y/e(2 — s) par — i racine carrée principale de i (166). Quand x revient en o: = o, marchant à rebours sur le segment

rectiligne [0(1 — e)], v décroît ainsi de — y/£(à — s) à — i , et i^" de I — e à o; il s'ensuit que (^ marche sur la circonférence [O,.],

et toujours dans le sens direct, de ^== — y/e(2 — e)-|- i(\ — s) à t'= — I.

Le parcours de la boucle (H- i) ayant ainsi pour effet de transporter t'de (^ = -f-i à(' = — I, par un demi-tour direct autour de O»., fait varier l{y^ de o à r,i (186 bis).

Poursuivons notre marche sur le chemin simple [oX], Si pour

un instant on représente par ±)/i — x'^ les valeurs atteintes en x par les déterminations du radical qui partent de jer = o avec les valeurs initiales ± i respectivement, l'identité (23) qui donne

l{ix^ )/T^^^^) -+- l[ia: -h /i — J?») = /(- i) = îti,

en attribuant en a: = o aux deux logarithmes les valeurs initiales 7t/et o, montre qu'en X la valeur finale du premier est égale à l'excès deuf sur celle du second. Mais il résulte de tout ce qui précède, que la première est celle de i arc sin^ après le parcours de la boucle (-hi) suivie du chemin simple, que la seconde est celle de la même fonction calculée sur le chemin simple seulement, c'est-à-dire iU. Le chemin simple précédé de la boucle (-4- i) conduit donc arc sin j; à la valeur finale tz — U.

En raisonnant de la même manière, on trouve que Remploi de Vautre boucle ( — i) substituée à la première donne la valeur finale — ti — U.

Si Uon place avant- le chemin simple la même boucle parcourue deux fois, on retrouve U pour valeur finale. Car la seconde donne ±tz — U, et la première placée avant celle-ci

±71— (dziT— U)=U.

Si Von place d^ abord la boucle (-f-i) et ensuite la boucle { — \)jOn obtient la valeur finale stt -h U. Car la seconde seule donne — iz — U, et ensuite tz — ( — t: — U) = î^tt + U quand on la fait précéder de la première. Si Von parcourait d^ abord la boucle ( — i), puis la boucle (-H i), puis le chemin simple^ on arriverait à — air + U.

Chacun trouvera maintenant sans difficulté la modification apportée à la valeur finale de arc sin^, par l'adjonction au chemin simple, d'une suite quelconque des deux boucles arbitrairement répétées.

242. On obtiendra naturellement la dérivée de w = arcsinu:, en particularisant par les attributions numériques (i), (a), la fonction placée sous le signe / dans l'intégrale (24) du n** 228, et en y précisant convenablement le radical, après y avoir remplacé u par X. On peut aussi difi«ércntier l'équation (21), ce qui donnc^