CHAPITRE VI. — FONCTIONS CIRCULAIRES
en verlu des relations (7),
du I T
dx cos u J^ art
OÙ il faut choisir celle des deux déterminations du radical qui est ëgale à cosu.
243. Le seul développement usité de arcsinjr est celui de Maclaurin, auquel Téquation différentielle (^4) conduit immédiatement.
En considérant, par exemple, la détermination de arcsin^ qui s'annule en j: = o, le radical de cette équation doit être pris avec la valeur initiale 4- i à cause de coso = i , et son développement par la formule du binôme (118) donne
. f. du , -.-1 I , «-3 . i.3.5...(a/i — 1) ,„
(25) -;-=(i— a:*) * = i-+--a;*-i -ar*-i-...H -— j;ï«-t-....
En intégrant et ayant égard à la condition initiale, il vient donc
(26) M = arcsinrF = -H --h... h ;— ; h
Si Ton choisissait la détermination de arcsinj: égale à ir pour ^ = o, il faudrait, à cause de costt = — i , attribuer au radical la valeur initiale — i, ce qui changerait tous les signes du développement (aS). On obtiendrait ainsi celui de cette détermination, en retranchant de tz la série (26).
Le rayon de convergence maximum de celte série est naturellement I, plus courte distance de zéro, valeur initiale de j:, à -h i et — I, seules valeurs de cette variable qui soient singulières pour arcsinx (201*). On remarquera que cette série converge encore, et même celle des modules de ses termes, pour moàx=z 1 .
Effectivement cette série de modules est
I II i.3i 1.3. ..(2/1 — i) i
I 23 2.4^ 2.4. ..2/1 2/tH-l
pour laquelle
(on-.). /j y/ j x-.,
rapport du (/i + lyèmc terme au /i*'"*', se développe en une série entière par rapport à -»
dont le premier terme est i, où le coefficient de - est la quan-
lilé algébriquement inférieure à — i (69).
La série (26) restant ainsi convergente sur la circonférence de son cercle de convergence, y est continue (126*); d'autre part, la relation (22), combinée avec la proposition du n° i03, montre que arcsin^c jouit de la même propriété pour toute valeur de x.
Il en résulte que la formule {26) a lieu, même pour modx = i .
En particulier, la somme de la série (27) est égale à -> valeur
finale de arcsino; au bout du chemin rectiligne conduisant de X = 0 à ^ = I.
244. La théorie dont nous nous occupons comprend des formules très nombreuses, parmi lesquelles nous devons nous contenter d'indiquer les plus importantes. En appelant m un entier positif, les identités (3), (17), (18) donnent aisément
cos/?ia:= = - [(cosarH- l'sinx) '»-+-( cos a: — tsinar)"»],
ginx ' g — imx j
s'inmx = . = — : r(cosa? -h ismx)'^ — (cosar — i sinar)'»»!.
2£ ai ^
En développant les seconds membres, on voit ainsi que cosmx, sinmx sont exprimables en fonctions composées entières de cos:c et sina:.
Ce sont les formules pour la multiplication de V argument.
Eu substituant y/i — cos*^ à sino; dans la première et y/i — sin^jr à cos;r dans la seconde, on obtient pour cosmjr, sinmx^ des expressions renfermant seulement cos^ et sino; respectivement; la première est toujours entière; la seconde est entière ou irrationnellc; selon que le nombre m est impair ou pair.
245. Si, dans ces dernières formules, on changre x en —, elles
