CHAPITRE VI. — FONCTIONS CIRCULAIRES

légrale circulaire spéciale de première espèce

/dx

sous les condilions initiales respectives

/i — 0?* = -h I, arcsino= o, j

^ \ pour 37 = 0.

V'i — X' = — I, arc ces 0= -» l

Le rôle joué par ces diverses fonctions dans la théorie des intégrales circulaires est identique à celui des fonctions elliptiques canoniques, dans celle des intégrales de celte dernière sorte (Chap. XII, inf.).

230. Quand x est réelle, cos:r, sinj?, tangjr, cot.r le sont aussi, et la relation (17) montre que les deux premières fonctions sont respectivement alors les premier et second éléments de g'*'^, c'està-dire (201, V) r abscisse et V ordonnée rectangulaires de rextrémité d'un arc de longueur algébrique = x, mesuré à partir du point (1,0) sur la circonférence de rayon =: i qui a l'origine pour centre. On en conclut facilement (248) que tangj:, cotx sont les longueurs algébriques des segments des tangentes aux points (i ,0), (o, i) de la même circonférence, compris entre ces points et les traces du rayon vecteur passant par l'extrémité de l'arc, que les fonctions

sécj? = 7 coséc =

cosx sin:r

mesurent algébriquement les segments du même rayon vecteur allant de Torlgine à ses traces ci-dessus.

Cette représentation géométrique a valu à ces six fonctions et à leurs inverses, ainsi qu'à toutes celles qui en sont composées, le nom générique de fonctions circulaires, et leur assigne un rôle de la plus haute importance dans toutes les questions impliquant directement ou indirectement la considération du cercle, par exemple dans la Géométrie (métrique), la Cinématique, l'Astronomie, etc. Combinée avec la facilité extrême de la comparaison numérique des arcs de cercle, elle a permis d'édifier sur les propriétés les plus

simples de la ligne droite et du cercle, la théorie de leurs valeurs réelles. C'est la méthode suivie dans les traités de Trigonométrie, auxquels nous renvoyons le lecteur pour les détails que nous avons dû omettre.

Mais si elle est plus élémentaire, si elle suffît aux besoins de la pratique (qu'elle dépasse même de beaucoup trop au détriment d'études mathématiques plus sérieuses), elle n'en est pas moins artifîcielle et imparfaite, car elle laisse dans l'obscurité la plus profonde la nature analytique propre de ces fonctions, notamment leur étroite connexité avec l'exponentielle et le logarithme.

L'utilité pratique extrême des fonctions circulaires a rendu nécessaires des Tables fournissant des valeurs numériques suffisamment approchées de sino?, cosjt, tang^, cotj: pour les valeurs réelles de x^ ou plutôt leurs logarithmes vulgaires, car on s'arrange toujours de manière à exécuter les calculs par logarithmes. Nous ferons connaître plus tard (292, III, inf.) le principe de la construction de ces Tables; avec un peu d'attention chacun reconnaîtra que, jointes à la Table des logarithmes des nombres, elles équivalent à une Table unique à double entrée qui donnerait les valeurs numériques de e^"^^^ pour toutes les combinaisons de valeurs des éléments x\ x" de V exposant.