ET EN SÉRIES FACTORIELLES

Généralités sur les fonctions unipériodiques.

251. Maintenant nous aurons à employer fréquemment le moyen d^investigation spécial dont nous avons fait connaître le principe au n° 49.

Comme sa mise en œuvre implique essentiellement la considération des infinis et des zéros des fonctions à comparer, comme, d'autre part, les fonctions dont nous aurons à nous occuper sont périodiques (204), il faut avant tout étudier avec soin les caractères généraux imprimés par la périodicité à la distribution de ces quantités et aux autres particularités les concernant.

Sauf mention du contraire, nous supposerons expressément que les fonctions périodiques dont nous parlerons sont indéfiniment méromorphes {ou olotropes) et ne dégénèrent pas en des constantes.

Pour une fonction de cette espèce /(j;), nous appellerons deux valeurs données a, b de la variable (et aussi les points correspondants) congrues ou incongrues selon sa période II, suivant que la différence a — b est ou non de la forme mil, m désignant quelque entier (positif ou négatif).

252. 'Si les valeurs initiales Xq, x^^^ de x sont congrues, les termes semblables dans les développements de

en séries procédant suivant les puissances de h à exposants entiers, les premiers éventuellement négatifs (37), (56) sont respectivement égaux.

262 DEUXIÈME PARTIE, — PONCTIONS D*UNE SEULE TARIABLE.

Car, à cause de

ar^o) ^ h = Xo-h h 4- (ar^o) — jr^) = xq -h A 4- m II, l'identité fondamentale (I) f(x-hmU) = /(x)

donne, quel que soit A,

ce qui entraîne évidemment Tégalilé numérique des coefficients dont il s'agit.

En particulier, toutes les dérivées cle/{x)j si elle est olotrope, ont en Xq et x^^^ des valeurs égales; si Xo est un zéro où un injîni, x^^^ est aussi un zéro ou un infini de même degré de multiplicité, et dans ce dernier cas avec le même résidu, etc.

253. Siy dans les mêmes développements, les coefficients des termes semblables sont respectivement égaux, la différence ^(0) — Xq est une période de/{x).

Car alors l'identité (2) a lieu pour toutes les valeurs de A à modules suffisamment petits, puis s'étend par voie de cheminement à toutes les valeurs imaginables de cette quantité (177*). En faisant donc h = x — Xq^ elle donne, quelle que soit x,

f[x-h{x^^^^Xo)]=fix), ce qu'il suffit évidemment de prouver.

2o4. Toute période U de /(x) appartient à ses dérivées de tous ordres, La différentiation de l'identité fondamentale (i) donne effectivement pour toute valeur de Tindice k

On remarquera bien qu'une fonction n'admet pas nécessairement une période appartenant à sa dérivée. Soit effectivement f{x) une fonction douée d'une période ; f'{x) en est douée aussi comme nous venons de le voir, /'(:r)-h C pareillement; cepen-