CHAPITRE VII. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS CIRCULAIRES

clant y'(x) -I- C est la dérivée de /(a?) -|- Cj? qui ne possède pas celle période quand C est -^ o.

25o. Une même période II appartenant à la fois à f\{oc)^ /ji^)^ • • • appartient aussi à une fonction composée rationnelle quelconque, finie ou différentielle, de toutes ces fonctions simples. Car elle appartient à toutes les dérivées des fonctions f if fit • • • (234) et par suite évidemment à toute expression composée rationnellement de ces diverses fonctions simples.

Dans beaucoup de cas, une fonction composée à composante irrationnelle peut être méromorphe et admettre la période II, ou tout au moins une période multiple de celle-ci; mais dans Tétat présent de TAnaljse, il serait bien difficile de les assigner à /?rio/7 (cf 330, inf).

256. Si f{x) admet la période II, F{x)=f(aœ -f- 6), où a, b sont des constantes, la première yé o admet la période - •

Car F( X -h /n - j=:/(aa: + b -\- ml\)=if(^ax -|- 6)= ¥{x).

2o7. Nous appellerons souvent moment de deux quantités o = a'-h irt", b=: b' -\- ib" le déterminant de leurs éléments

Sa valeur numérique est représentée géométriquement par l'aire du parallélogramme construit sur les rayons vecteurs menés de l'origine aux points a, b.

Il s'évanouit naturellement quand l'une de ces quantités est nulle; mais, quand la seconde ne Test pas, il est toujours de signe

contraire au second élément du rapport t> ou bien nul en même temps que lui, à cause de

a a'b'-^^a'b' . oC h" — a b

Ce rapport est donc réel ou non, selon que le moment est nul ou ne t^ est pas. Dans le premier cas, les directions des deux rayons

264 DEUXIÈME PARTIE. — PONGTIOITS D'UIfE SEULE VARIABLE.

vecteurs ci-dessus soat identiques ou opposées ; dans l'autre cas, elles font entre elles quelque angle proprement dit.

On peut dire encore qu'iY existe ou non entre a, b une relation linéaire et homogène à coefficients réels non tous deux = o, selon que leur moment est nul ou ne l^ est pas.

258. Cela posé, si Ton considère quelque autre constante B offrant avec la période II un moment non nul, et si Ton choisît arbitrairement une valeur particulière de x^ a'=^a! ^icF ^ toute valeur a?'-+- ix" de x est congrue à une autre de la forme

où />, t sont deux quantités réelles convenables, la première comprise entre o et i. Car alors l.e sjstèrae d'équations linéaires simultanées à coefficients réels

\ U'P -^e' t = x' — a\ \ n'P-he'f = ar'— a'

est possible et déterminé, parce que le déterminant des coellicients des inconnues P, / ne s'évanouit pas ; et en appelant m, m + i les deux entiers consécutifs qui comprennent P, on a P=m4-/>, p tombant entre o et i . Ces équations donnent donc bien

Tous les points dont les affixes sont de la forme (3) tombent évidemment dans une bande illimitée, comprise entre les droites menées par les points a, a + II, parallèlement à 6 (qui n'est pas parallèle à II). En outre, si l'on ajoute à toutes les valeurs de x tombant dans cette bande un même multiple entier de II, |xn, on obtient toutes celles situées à l'intérieur de la bande de même épaisseur, à bords parallèles menés par les points

Les points ayant pour affixes les termes de la progression arithmétique de raison II, indéfinie dans les deux sens,

..., a — alT, a — II, a, a -h II, a-i-2ll, ...,