CHAPITRE VU. — DÉVELOPPBMKNT DES FONCTIONS CIRCULAIRES

partagent évidemment en segments égaux à modll la droite menée par a parallèlement à II, et les droites menées par ces points parallèlement à 6 découpent le plan en bandes égales. Il résulte des observations précédentes que les valeurs prises dans une seule de ces bandes par f{x) et par ses dérivées (ou autres coefficients de ses développements) se répètent indéfiniment dans chacune des autres aux points respectivement congrus. L'étude de cette fonction périodique peut être limitée à Tintérieur de Fune quelconque de. ces bandes; pour fixer les idées on prend =o, la quantité arbitraire a, et Ton choisit la première bande, celle dont les bords passent par o et II.

Ces bandes restent les mêmes quand on multiplie 6 par une quantité réelle; mais elles changent si Ton vient à remplacer cette quantité par une autre de direction différente.

Quand x est infinie sans rester à l'intérieur de bandes données en nombre limité, f{x) est essentiellement indéterminée. Une pareille fonction ne peut donc être méromorphe à l'infini (SI), car alors des valeurs infiniment petites quelconques de x' feraient

tendre la fonction y(— j vers quelque limite, ou au moins la rendraient infinie, au lieu de la rendre indéterminée.

2o9. Donnons ici une définition qui ne serait pas mieux placée ailleurs. Une phase singulière dans laquelle une fonction donnée d'une seule variable, F(^), entre en x = ù, est dite essentielle, quand cette fonction, n'étant pas méromorphe en a, est néanmoins olotrope, ou au moins méromorphe, dans tout fragment d'une aire donnée contenant a, auquel ce même point est extérieur.

Quand F ( — ) entre dans une phase singulière essentielle en

a:'=o, on dit que F(x) est douée d'une singularité essentielle à Vinfini, C'est ce qui arrive, par exemple, quand ^{x) étant indéfiniment méromorphe (ou olotrope) sans dégénérer en une constante, l'une ou l'autre des équations

possède une infinité de racines distinctes ; car alors celles de ces racines qui sont extérieures à une aire limitée quelconque S^;, étant

toujours en nombre illimité aussi, puisque Taire en question ne

peut en contenir qu'un nombre limité (31), Ff — i — A, Ff— ;W

possèdent en nombre illimité dans une aire limitée quelconque Sx'-, contenant Torigine jr'=o, des zéros dans le premier cas, des infinis dans le second. Comme le contraire aurait lieu si ces fonctions étaient méromorphes dans S^', elles ne peuvent l'être, et cependant elles jouissent visiblement de cette propriété dans

toute aire à laquelle le point j:' = o est extérieur; la fonction Ff — )

entre donc dans une phase singulière essentielle en x'=o, puisqu'elle ne peut évidemment être méromorphe en ce point.

D'après cette définition et les observations faites dans le numéro précédent, la fonction périodique f{x) possède nécessairement une singularité essentielle à V infini.

Nous devons nous borner à ces indications, la considération des phases singulières essentielles étant inutile aux théories dont nous avons à nous occuper.

260. Quel que soit Tentier jx, /(^) supposée douée de la période II, admet évidemment aussi la période II, =: iaII, que l'on dit composée de II; mais, sauf le cas de [Ji = ± i, cette nouvelle période n'est pas équivalente à II, parce que les valeurs de l'expression mlli ne comprennent pas toutes celles de mil.

Une période de /(^) est élémentaire, si elle n'est composée d'aucune autre a)'ant un module inférieur au sien. Une pareille période est évidemment celle de moindre module parmi toutes celles qui en sont composées.

Cette fonction admet nécessairement quelque période élémentaire. Car, si jjL, jx', ;jl", . . . désignant une suite illimitée d'entiers tous >> I en valeur absolue, f{^x^ admettait pour période

chacune des quantités II, - = n', —, = 11", .... ,. ,, = 11^'^ . , . ,

le module delI^'J décroîtrait sans cesse et indéfiniment pour {infini, et, en supposant/(^) ololrope en x^^ réquation/(x) — /( j^o) = o, qui est satisfaite quel que soit i par^ = jtq -|- 11^'^ posséderait une infinité de racines dans une aire limitée quelconque contenant le point ^To; /(a?) se réduirait donc à une constante (4), ce qui est contraire à Thypothèse.