CHAPITRE I. — FONCTIONS OLOTIIOPES

A étant positive, et s infiniment petite en même temps que h ; d*où, en appelant a\ <Ccii<C ^[ des valeurs réelles de x suffisamment voisines de dZ|, et prenant successivement A := n\ — a^ et A = a\ — a^^

Comme /'(j:) ne s'évanouit plus entre X'et a\^ on a par ce qui

précède

et Taddition membre à membre de ces trois inégalités donne

En nommant eî!J, «j, . . . , aj[ certaines quantités réelles respectivement supérieures à a^i ^'3? • • • ? ^a, oïi trouvera de même

f{0-f{ci\)>o, .f(al)-f{a\)>o,

/{X')-/(aI,)>o,

d'où l'inégalité (3) par une nouvelle addition membre à membre de ces dernières.

Quand f{x) est décroissante dans rinte/valle considéré, on

trouve au contraire

en raisonnant exactement de la même manière»

22. Si les quantités f{X!)^ f{\!') sont de signes contraires, Véquation

offre au moins une racine dans l' intervalle X', X''.

En appelant h un accroissement infiniment'petit, la diflférence f{x 4- II) — f{x) est infiniment petite aussi, de quelque manière que X varie simultanément dans l'intervalle considéré (200* bis).

Si donc on nomme cu/, quelque variante positive infiniment

petite, si l'on partage Tintervalle considéré en un nombre limité de fragments inférieurs à o>;i, et si l'on nomme x'^^ x"^ deux points de division consécutifs en lesquels f{x) ne prend pas un même signe, points qui existent, car autrement les quantités y(X'), . . . , /{^'n)i /(^//)» • • • 9/(^") auraient toutes un même signe contrairement à l'hypothèse, /(^J,) et /{^'„) tendent toutes deux, vers zéro. Car, ces deux quantités n'étant pas de même signe, la valeur absolue de chacune d'elles ne peut surpasser celle de leur différence /(^*,) — /(^n) qui est infiniment petite, comme nous venons de le rappeler, puisque j:* — x'^^ tend vers zéro.

Aucune limite inférieure n'est donc assignable à mod/(:c) dans l'intervalle considéré, d'où résulte ce que nous voulions prouver (185*).

Le théorème du n" 11, élargi au besoin comme nous l'avons indiqué à la fin du suivant, permettrait encore de prouver Texisience de pareilles racines et aussi bien de les calculer par cheminement.