CHAPITRE VII. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS CIRCULAIRES

Si n est une période élémentaire, nx( — i)= — Il en est une aussi, et la seule autre qui puisse évidemment exister.

En prenant une période élémentaire dey(j:) pour base du tracé expliqué au n® 238, on obtient, pour une même direction de la constante auxiliaire 0, des bandes de largeur commune minima, qu'il convient, à cause de cela, de considérer préférablement à toutes autres. Ce sont les bandes élémentaires de/(x)-, il est évident qu'au point de vue graphique leur ensemble coïncide avec celui que fournit l'autre période élémentaire.

261. Si, outre la période élémentaire H, f{x) admet encore une autre période û, de deux choses Cune : ou bien û est composée de n, ou bien le moment (2o7)

des deux périodes n^est pas nul.

Si ce déterminant est nul, on a

d'où.û = Â:n, k désignant quelque quantité réelle non nulle. En appelant donc m un entier quelconque, n et n H- i deux entiers consécutifs donnant n ^ mk •<[ /i 4- i , par suite mk = /i 4- tq, où vi est une quantité réelle positive et < i, on aura

/nS2 = mkU = nll -i- r^IÏ.

Attribuons maintenant à m une infinité de valeurs distinctes m^, 1722, ... ; il est impossible que t^j, 7j2, . . . valeurs correspondantes de 7^, soient toutes inégales. Car, en supposant/(j:) ololrope en Xq, et à cause de

l'équation f{x) — f(^Xo) = o aurait pour racines les quantités Xo-{-r^Uy qui sont toutes inégales et en nombre illimité. Comme toutes ces quantités tombent à l'intérieur du cercle qui a J^o pour centre et modll pour rayon, /(x) dégénérerait en une constante (4), ce qui est contraire à l'hypothèse.

En appelant donc i,j deux indices convenables, on a

/n/û — mU = mjil — njUy c'est-à-dire

(mi— mj)Q — (ni— ny)n,

el, comme m/ — my, ni — ny né peut être nul, puisque une Test pas. Si [Lf V sont les quotients des divisions de ces différences par leur plus grand commun diviseur, celte relation s'écrit

et donne

(4) n = [ij, û = vu,

u désignant la valeur commune des derniers rapports.

Soit enfin />, q un couple de solutions entières de Téquation

qui est possible puisque (a, v sont premiers entre eux. Les égalités (4) donnent

u =/?n -f- çQ,

moyennant quoi o est aussi une période de/(^), et II en est composée à cause de la première. Mais, Il étant élémentaire, il faut que [A = ± I , d'où u = ±: II, et la dernière des mêmes relations donne û = ±: vil, ce qu'il fallait établir.

262. Nous appellerons unipériodiques les fonctions de cette espèce, c'est-à-dire celles dont toutes les périodes sont composées d'une seule période élémentaire.

Pour ce qui les concerne, il y a quelque chose à ajouter aux observations faites précédemment sur toutes les fonctions périodiques.

1. Si les fondions /(x), f (x), . . . dun^ 254 sont toutes unipériodiques, elles ont nécessairement les mêmes périodes élémentaires.

Soient effectivement II une période élémentaire de /(^), par suite (élémentaire ou non) de /'(^), et ts une période élémentaire