CHAPITRE VII. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS CIRCULAIRES

de celte dérivée. L*inlégration de

donne, en appelant C quelque constante,

(5) /(a:-4-m)=/(a?) + C, d'où

(6) f{x -h mm)=:/(x)-\- mC.

Comme II, période quelconque de f'{x) supposée unipériodique, est nécessairement composée de sa période élémentaire m, on a

(7) n = iitiT,

le multiplicateur |jl étant un entier 72^0. Cela posé, Thypoihèse m = [X, faite dans Tidentité (6), donne

d'où [xC = o, à cause de /{x -i-U)=f(x), puis C = o à cause de [x^^o.

L'identité (5) montre ainsi que ta est aussi une période de/{x)\ elle est donc élémentaire puisque cette fonction est supposée unipériodique et qu'en vertu de l'égalité (7) sa période élémentaire I! en est composée.

Même raisonnement pour la comparaison des périodes de/\x) et/'(x),/V)et/"(^), ....

II. Si au n^ 235 la période El est élémentaire pour les fonctions/^i (a:), /a (x), . . . , elle appartient bien, comme toute autre, aux fonctions qui en sont rationnellement composées ; mais cela peut être parfaitement à titre non élémentaire.

III. Pour les fonctions /(x), F(^) du n° 256, il est évident que les périodes II, — sont en même temps élémentaires ou non.

- 263. De ce que nous avons vu, dans les deux Chapitres précédents, il résulte évidemment que les /onctions e*, tangx et cotx,

sin^ et cosx sont unipériodiques avec zh inzi^ ± tî, tz pour ±2 périodes de moindres modules, partant élémentaires.

Les relations entre leurs périodes sont conformes aux observations ci-dessus; par exemple e^ ayant la période ±1211/, les fonctions e^'^, e'-^, par suite langj: et cot^, sinx et cosx, qui sont rationnellement composées de ces dernières respectivement, ont au même titre élémentaire les périodes linr, lii 211; cos^r, dérivée de sina?, a la même période élémentaire ±271, ....

On peut tracer les bords des bandes élémentaires : pour e^, par les points ..., — iTziy o, 27:/, ..., parallèlement à Taxe des quantités réelles; pour tangx et cot^r, par les points ..., — t, o, 7:, . . . , parallèlement à Taxe des seconds éléments; pour cosx et sin^, par les points ..., — 27:, o, 27:, ..., dans la même direction.

Plus généralement, toute fonction rationnellement composée de l^ exponentielle e"^ est évidemment unipériodique avec la

période — —9 qui n'est pas forcément élémentaire. Nous verrons

bientôt (268, inf.) qu'inversement les fonctions unipériodiques i'ormant la classe la plus simple sont toutes exprimables de cette manière.

264. En attribuant à t dans l'expression (3) des valeurs infinies, soit positives, soit négatives, la valeur correspondante de x s'éloigne à l'infini à l'intérieur de la bande ayant pour bords les parallèles à 8 menées par «, a 4- TI, soit dans la direction même

de 8, soit dans la direction opposée; de plus, le second élément

du rapport — est infini avec un signe final identique à celui de / =1

constant par suite. Pour abréger, nous caractérisons une pareille variation de x (ou de toute valeur congrue) en disant que celte variable est infinie dans une direction polaire, et nous nommerons cette direction boréale ou australe selon que le signe final

du second élément de yr sera 4- ou — .

Quand x est infinie dans une direction polaire relativement à quelque système de bandes, elle jouit évidemment de la même propriété relativement à tout autre système.

Pour deux systèmes à bords tous parallèles, construits sur les