Si la fonction unipériodique f{x) est polarisée avec

pour valeurs polaires y et si la quantité Uq n'est égale à aucune de ces deux-ci, Inéquation numérique

(9) /(a?)=Mo

272 DEUXIÈME PABTIE. — FONCTIONS D*UNE 8EULB VARIABLE.

oj^re dans une même bande des racines distinctes dont le nombre est essentiellement limité.

Si, en outre, m désigne la somme des degrés de multiplicité de ces racines, laquelle est évidemment la même pour toutes les bandes, Inéquation

résolue numériquement par rapport à x^ pour toute valeur U de u non égale à Vune des quantités (8), aura dans chaque bande des racines distinctes ayant le même nombre m pour somme de leurs degrés de multiplicité.

I. Si Téquation (9) avait dans la bande considérée les racines distincles

en nombre illimilé, des valeurs infinies de Findice i rendraient certainement Xi infinie^ car autrement la fonction méromorphe f{x) — £/o posséderait une infinité de zéros dans quelque portion limitée de cette bande, ce qui est impossible. Certaines valeurs de ar, infinies dans une direction polaire, rendraient donc f{x) constamment égale à i^o ^^ donneraient par suite lim/(j;)=Uo} tandis que par hypothèse /(j;) tend toujours vers Tune ou l'autre des quantités (8).

II. La deuxième partie de ce théorème est une conséquence immédiate de ce que nous avons appelé le Principe de la conservation du nombre des racines ( 168).

Nous savons effectivement (48) qu'en a = U, Téquation (10) n^a pas d'autres racines que les valeurs finales acquises, au bout des divers chemins conduisant de Uq à U, par les racines variables ayant pour valeurs initiales les racines de l'équation numérique (9). Or le cheminement peut être pratiqué sur tout chemin ne contenant aucune des quantités (8), parce que x n'y devient jamais infinie; et, pendant tout son cours, la somme des degrés de multiplicité conserve la valeur constante m pour le groupe des déterminations de X qui partent eu. u=z uo^ avec des valeurs initiales égales aux racines numériquement distinctes que l'équation (9) offre dans la bande considérée. Cette somme conserve donc aussi la même