CHAPITRE VII. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS CIRCULAIRES
valeur m pour le groupe des déterminations de x qui à chaque instant tombent dans la même bande ; car, à cause de la périodicité de/(j?), aucune détermination de x ne peut évidemment sortir de cette bande sans qu'une autre n'y pénètre en même temps av^c le même degré de multiplicité.
En II = fZ-t, et pour celles des valeurs correspondantes de x qui sont alors inflnies, ces conclusions s'évanouissent; effectivement les considérations du dernier paragraphe du Chapitre IV supposent essentiellement que l'équation (lo) puisse être transformée en une autre à premier membre olotrope en x'.= o^ par la
substitution x = —, (accompagnée de w = — , quand la valeur
considérée de u^ est infinie). Or cette transformation est ici
impossible, à cause de la singularité de nature essentielle dont /{x) est affectée à l'infini (239).
266. L'entier m se nomme Vordre de la fonction unipériodique polarisée /(j:), relatif à la période ±: H à laquelle correspondent les bandes considérées. Relativement à la période ± (jlTI, l'ordre de y(j?) devient naturellement [aw; pour une période élémentaire, il a donc sa valeur minimum qui est l'ordre absolu de cette fonction.
Quand aucune des valeurs polaires (8) n'est nulle, l'ordre est égal à la somme des degrés de multiplicité, dans une même bande, des racines de l'équation
c'est-à-dire des zéros de/(x).
Quand elles ne sont infinies ni Tune ni l'autre, aucune ne s'évanouit pour Y — 7 fonction indéfiniment méromorphe comme /(a*)
et de même période ainsi que de même ordre évidemment. L'ordre âe /{x) est donc égal aussi à la somme des degrés de multiplicité,
dans chaque bande, de ses infinis, zéros de -?
Quand ces deux circonstances se présentent à la fois, chaque bande de/{x) contient des zéros et des infinis dont les degrés de multiplicité offrent des sommes égales entre elles et à l'ordre /// M. — II. i8
274 DEUXIÈME Pi^RTW. -^ PONCTIONS D*UNK SEULE VARIABCr.
de celte fonction^ ce qui la rapproche des fonctions bipëriodiques (320, in/,).
Par exemple, e^ ayant o, a> pour valeurs polaires est d'ordre absolu I sans avoir aucun zéro ni infini dans sa bande élémentaire; sino; dont les valeurs polaires sont infinies, est d'ordre absolu 2 et a dans sa première bande élémentaire les deux zéros simples o, n, sans infini; même chose pour cosor ayaAt les zéros simples ^ ir^ | tc. Pour tang x, dont les valeurs polaires ± i ne sont ni nulles ni infinies*, la première bande élémentaire contient le seul zéro simple o, le seul infini simple ^ 7c,.et l'ordre absolu est i ; particularité semblable pour cotj;.
Naturellement ces notions ne sont pas applicables aux fonctions unipériodiques dépourvues de polarité, comme celles dont nous nous occuperons plus tard (374, in/.); mais elles le sont à celles dont nous parlerons jusqu'à la fin de ce Chapitre, parce que nous les supposerons essentiellement polarisées.
267. Le théorème suivant peut être utile, mais surtout il établit uue nouvelle analogie entre les fonctions unipériodiques polarisées et les fonctions bipériodiques {C/. 328, in/.).
En appelant /(ûs) une /onction unipériodique de période n, aux valeurs polaires w^, w, toutes deux finies, et ^ son résidu intégral dans une bande quelconque (36), on a la /ormule
(il) a= — -.(m-— M+).
Soit X une quantité infinie dans la direction polaire boréale, sur le bord de la première bande qui passe par:r:=o; en parcourant successivement les segments rectilignes allant de — X à — X -f- n, de — X + n à X 4- n, de X 4- n à X et de X à — X, on marche évidemment dans le sens direct sur un certain contour fermé (C), à
l'intérieur duquel on finit par avoir T /(x) = <Â et, par suite (189),
l 27riA= 1 /(x)ctr= / /(x)dx-h j /{x)dx
f /{x)dx-r- f f{x)dap.
CHAPITRI VII. -^ DtVÊLOPPSVBNT DES FONCTIOKS CXAOVLAHIES. 275
De ces quatre intégrales, la seconde et la dernière se détmisenl; car la substitution j? ss II -f- r, d'où dx = dly /(Il -h ^) ^:=/{t)f change la seconde en
J f{t)dt=^^J f(t)dL
La première a pour limite u ïi parce que, sur son chemin, tétant infinie dans la direction australe, on peut écrire /(j?)= «H-e, où e est une quantité infiniment petite, d'où
-x+ïl ^-x-i-n .,-x+n
lim i f{x)dx= j u^dx -h iim f edx=u-.U (237*).
La troisième ayant pour limite — 2^^.11 pour une raison semblable, la relation (12) entraîne notre formule (11) dont on peut vérifier l'exactitude sur les fonctions tango? et cotj?.
268. Si deux fonctions iinipériodiques {polarisées) de la même variable, f{x), F(^)j ^^^ w'*^ période commune H, relativement à laquelle elles sont d^ordres m, M (266), il existe entre elles une identité entière irréductible, dont les degrés effectifs JH, IH en f{x) et ¥{x) sont les quotients des entiers M, m par quelqu^un de leurs diviseurs communs.
La démonstration générale de ce théorème se fait exactement comme celle que nous donnerons pour les fonctions bipériodiques (331, inf,)^ sauf une légère complication naissant ici de la nécessité de considérer les valeurs infinies de la variable. Nous nous bornerons donc à l'établir par des moyens spéciaux et appropriés à nos besoins actuels, dans le cas parciculier de M = 1 , le seul dont la considération nous soit présentement utile, en prouvant qu'alors /(a:) est une fonction composée rationnelle de F(j?), contenant cette fonction au degré effectif m dans ses deux termes, ou bien au degré m dans l'un et à un degré moindre dans Vautre.
I. Soit d'abord F(^) = e " , fonction d'ordre 1 relativement à sa période II, et supposons, pour commencer, qu'aucune des valeurs
polaires y^., / de f{x) ne soit nulle ou infinie. Alors, dans une bande déterminée (266), cette dernière fonction possédera certainement, en nombres limités, des zéros et des infinis numériquement distincts
(13) «1, «î, ..., Gg^
dont les degrés de multiplicité
(i5) nixy /Mj, ..., /w^,
(iG) jxi, jxj, ..., \x^
donneront des sommes toutes deux égales à m.
Cela posé, il est évident, d'après les propriétés de l'exponcnlielle F(:r), que la fonction
^ '^ '^- ^ [F(x)-F(aO]l^' LFW-F(«iJ>' ...[F(^)-F(flc,)]MT
est indéfiniment méromorphe, qu'elle admet la période II, que, dans la bande considérée, elle a pour seuls zéros et infinis les quantités (i3), (i4) aux degrés de multiplicité (i5), (i6), qu'elle a pour valeurs polaires, boréale et australe, les quantités
^^ [F (ao JS^. [P{^i)\^^ . . . L> («v)]!^: ' ^" ~ ' '
dont aucune n'est nulle ou infinie. Il en résulte que dans celle
bande le rapport '^ > indéfiniment méromorphe et de période II,
est dépourvu de tout infini, de tout zéro, et qu'il a pour valeurs polaires les quantités non nulles, ni infinies,
Dans la même bande, dans tout le plan par suite, on peut donc assigner à son module quelque limite supérieure et aussi quelque limite inférieure non r- o. Or une seule de ces circonstances suffit pour que le rapport en question se réduise à une constante C (49 :,
