CHAPITRE VII. — DÉVELOPPEMENT DBS FONCTIONS CmCULAIRES

d'où l'idenlilé annoncée

/(ar)==C<p(a:).

II. En appelant/^Of/'M^O) 9i quatre constantes toutes ^o ainsi que leur déterminant, telles en outre qu'aucune des expressions

ne s'évanouisse par la substitution à f{x) d'une valeur polaire finie et 7^0 quelconque de cette fonction, on constatera immédiatement que la fonction

de période II, d'ordre m évidemment aussi, ne dégénère pas en une constante, que ses valeurs polaires sont toutes deux finies et ^o. En prenant donc pour <f{x) quelque expression de la forme (17), on a (I)

identité dont la résolution par rapport à /(x) fournit cette fonction sous la forme voulue.

III. Quand F(x) ne se réduit pas à l'exponentielle de l'alinéa I, cette fonction est, par ce qui précède, exprimable au mojen d*elle par une fonction composée rationnelle la contenant au degré effectif I, dans l'un de ses termes, au degré effectif i ou o, dans l'autre terme. Inversement par suite, cette exponentielle s'exprime d'une manière semblable au moyen de F{x). Cela posé, il n'y a qu'à remplacer l'exponentielle par cette expression dans celle de /{x) au moyen de l'exponentielle (I), (II), pour obtenir celle de/(x) en F(^) que nous cherchions.

IV. Du point où nous nous trouvons, on passerait sans difficulté au cas général de notre théorème; il suffirait d'exprimer rationnellement au moyeu d'une même fonction du premier ordre à période égale (de l'exponentielle ci-dessus par exemple) les fonctions données /{x), F(x) d'ordres quelconques, puis d'éliminer cette fonction auxiliaire entre les deux identités ainsi obtenues. Mais il serait oiseux d'insister.

278 DEUXIÈME PABTIE. — FONCTIOXB D^VlfE SEULE VARIABLE.

269. La possibilité de représenter toujours la fonction unipériodique /(^), de période II et d'ordre m, par une fonction rationnelle

'*q' F?' -t- . . . H- By'

contenant Texponentielle

F(a7) = ell',

aux degrés effectifs, m dans Tun de ses termes, m ou moindre dans l'autre terme, a diverses conséquences qu'il est utile de noter.

Dans le numérateur et le dénominateur de l'expression, nous avons mis en évidence les termes effectifs extrêmes, et nous supposons p^^p'-, <f> y'« L'un au moins des exposants /?'', ^' est égal à m, l'antre ^/n; quant aux exposants^', ^', ils ne peuvent tous deux être ^o, car alors les deux polynômes seraient divisibles par F, et cette expression serait réductible, contrairement à ce que nous sous-entendons.

L On peut écrire l'expression (i 8)

»'-<»' A/y^FP'-P' H- ... -I- Ap>

ty*F^-^'-h...-+-By'

et comme l'exponentielle F^'~^' n'a ni zéro ni in6ni,y(a;) a pour seuls zéros et infinis respecti{>ement, les racines des équations

Ap" Fp'-P' -+-...-♦- Ap'=: o, Bq' Ff'-7' -h . . .-V Bç' = O,

dont pour chaque bande les sommes des degrés de multiplicité sont p^ — /?', q^ — gr'.

Effectivement, par exemple, la résolution de la première de ces équations entières par rapport à F, donnera pour cette exponentielle/>^ — p' valeurs (inégales on égales) à cbacune desquelles correspond une seule valeur de x dans chaque bande, parce que F(ir) est comme e* du premier ordre.

IL Pour quef{x) soit dépourvue ou dHnfinis ou de zéros, il