CHAPITRE VII. — DÉVELOPPEMENT DBS FONCTIONS CIRCULAIRES

faut donc que le dénominateur ou le numérateur du second facteur de V expression (19) soient de simples constantes.

Dans le premier cas, y(x) se réduit à une fonction linéaire d^ exponentielles de la forme ¥^-=¥{kx), où les exposants entiers A' (de signes quelconques) ne peuvent surpasser m en valeurs absolues.

Pour que f{x) soit dépourvue à la fois de tout infini et de tout zéro, ilf^uty par suite, que les termes du même second fadeur soient tous deux des constantes; alors f(x) se réduit (à un facteur constant près) à r exponentielle

et naturellement on a /?' — q'= ± m.

III. La fonction f(x) est toujours décomposable en une autre semblable mais dont les valeurs polaires sont finies, et en une fonction linéaire d'exponentielles ayant pour exposants des multiples entiers {éventuellement positifs, nuls et

négatifs) de -j=- x.

Dans le résultat de la décomposition de Texpression rationnelle (18) en fractions simples^ on obtient presque immédiatement les tétines en F*», F~l*, où les entiers m, |i sont positifs, puis, par différence, l'ensemble d'un terme constant et d'autres en (F — a)"**, où (L^o, Or les valeurs polaires de cette deuxième partie sont évidemment finieS) parce que celles de F sont o, 00; quant à la première partie, on peut j remplacer toute puis&ance F</de l'exponentielle F(^), par F(jx),

IV. Pour X infinie d^une manière quelconque dans une direction polaire déterminée, et pour h constant ou bien variable mais alors fini, et en appelant p(A) wie certaine fonction de h indéfiniment olotrope, on a

ce que nous exprimerons plus brièvement en disant que^^-^-?^^ — — ^ tend vers V{h).

A cause de F(^ 4- h) = F(^)F(A), le rapport en question est pour le numérateur seulement de Texpression (i8),

Ap''FP'[F(h)]P''-^. ,.~^ \p^FP'[F(h)]P' Ap'FP'-^-, ..-hXp'Fp'

Il tend donc : vers [F (A)]''', s'il s'agit de la direction boréale parce que F(:r) tend vers o; vers [F(A)]''^, s'il s'agit de la direction australe parce que F{x) est alors inGnie. Pour le dénominateur seulement, on trouvera que les limites analogues sont [F(A)]^', fF(A)]^''. Pour la fraction (i8), on trouvera donc les limites

(p-q')--h ip'-q'^ h

que nous nommerons quelquefois les raisons boréale et australe def{x).

On remarquera la valeur

airt

du rapport des deux raisons polaires. La quantité -77-^5 dans

^exposant de e, y est multipliée par V excès, pour une même bande, de y" — q\ somme des degrés de multiplicité des infinis de /{x)y sur p" — /)', même somme pour les zéros (I).

270. Les dérivées d'une fonction méromorphe unipériodique polarisée, une fonction rationnellement composée de plusieurs fonctions de cette sorte, à même période II, et de leurs dérivées, sont toujours polarisées aussi. Car, les fonctions simples étant toutes exprimables rationnellement au moyen de l'exponentielle à

ÏTCI JE"

même période e^^ (268), leurs dérivées et la fonction composée le sont également (264, in fine).