CHAPITRE VII. — DÉVELOPPEKENT DES FONCTIONS CIRCULAIRES

Développement des fonctions circulaires en séries de fractions

simples.

271. Une fonction rationoelle de x, type le plus simple des fonctions indéfiniment méromorphes, est décomposable en fractions simples (accompagnées éventuellement d'une partie olotrope) (52). Ce fait pose immédiatement pour toute fonction indéfiniment méromorphe la question de savoir si elle ne serait pas susceptible d'une représentation analogue ou, pour parler avec plus de précision, si elle ne serait pas développable en une série procédant suivant des fractions simples ayant naturellement pour infinis dans leur ensemble ceuK même de la fonction considérée. Cette recherche conduit à des résultats d'un grand intérêt, et la réponse est affirmative pour beaucoup de fonctions périodiques.

Nous étudierons d'abord en elles-mêmes les séries de fractions simples, en nous restreignant au cas où leurs infinis forment des progressions arithmétiques, disposition affectée par ceux des fonctions périodiques et en particulier des fonctions circulaires. Mais auparavant il convient d'établir, sur des variantes dont la génération implique la considération de pareilles progressions, diverses propositions dont nous aurons besoin ici et ailleurs.

272. La variante Um étant définie pour toute valeur positive, nulle ou négative de son indice unique m, on dit que la série doublement infinie

(l) .. .H- M-j-i- a i-+- Mo H- Ml -♦-"«-+-•• •

est convergente quand, k'^ k" désignant deux entiers positifs, la somme

de tous les termes où m est compris entre — Ar' et k' inclusivement, tend vers une même limite, de quelque manière que k et k' croissent indéfiniment. Cette limite se nomme alors la somme de la série (i).

Pour qu'il y ait convergence, il faut évidemment et il suffit qu'il

2fô DKrXXÈUE PARTIE. — FONCTIOKS D'UITB SEULE VARIABLE.

en soit ainsi pour chacune des deux séries ordinaires, formées par tous les termes qui sont placés soit eii4eçà soit au delà du si^e + qui sépare deux termes consécutifs quelconques. Il en est ainsi dans le cas particulier très remarquable que voici.

273. La série donblement infinie qui a pour terme d^indice m une fraction rationnelle en iw,

est convergente, elle et celle des modules de ses termes, si la différence A — \ des degrés effectifs des polynômes F (m), f(m), est au moins égale à 2 [on supprime, bien entendu, les termes en nombre limité dans lesquels F (m) s^évanouirait].

I. Lexposant g étant positif {^ï^)^ ia série à termes positif s

est convergente ou divergente selon que g est ]> i ou non. EflFectivement le rapport du (/w H- iyè«n« terme au m**"*' est

et l'on a algébriquement — g <C — i ou non, selon qu'on se trouve dans le premier ou le second cas (69).

II. En désignant par a, A les coefficients de m\ m^ dansy(/n), F{m) et par e, E deux quantités infiniment petites, on a

f(m) I a I H- e F(ïn) "" ^Â^ A I -hE'

d'où en supposant m > o, appelant a le module de jr^^^^ S, deux constantes positives choisies arbitrairement, la seconde <^ 1 ,