CHAPITRE TII. — DéTELOPPEXXVT DES FOITCIIONB CIRCULAIRES

a partir du moment où m est assez grand pour maintenir mode*. modE au-dessous de s, X.

Or, à cause de A — \^ 2 >- 1 , la quantité positive qui forme le second membre de cette inégalité est le terme général d'une série convergente (I) (114*, I).

Pour A — )* <C 2, il y a évidemment divergence.

274. Si, dans un tronçon de progression arithmétique de raison constante h(^o)

le terme de moindre module est une variante infinie, la somme des modules des puissances d^ exposant entier i>i des inverses arithmétiques des termes de ce tronçon tend vers zéro, de quelque manière que leur nombre g varie simultanément.

Comme, à partir du moment où le moindre module des termes du tronçon reste []>i, la somme considérée diminue toujours quand i augmente, il suffit de faire la démonstration pour i=. 2.

En supposant d'abord que u^ soit le terme de moindre module, en posant Ui= u\-{- iu\^ h = h' -^-ik"^ on aura généralement

[mo<i(a,-hmA)]«=a'4*-hu'i«-4-a(^'M;-+-A''MÎ)m-*-(A'«-+-A'«)/n«;

et, comme pour m = i , cette quantité est au moins égale à u^ -h u^j il faut qu'on ait algébriquement

d'où immédiatement

[mod(ai-hmA)]*>(A'«-hA'«)[U-4-(m — 1)«],

en représentant par U la quantité positive, infinie aussi,

Au diviseur constant près, la somme de modules coasidérée est donc inférieure au résultat obtenu en ajoutant à la quantité mfini-

284 DEUXlàHE PARTIE. — FONCTIONS D'UNE SEULE VARIABLE.

ineat petite |t> la somme de la série convergente (273)

U ■ U-hi» U-+-2* UH-m*

Or, cette somme est infiniment petite aussi ; car le plus grand entier positif M dont le carré soit <; U est infini comme U, et, d'une part, la somme de ses M premiers termes, inférieure à M fois le premier, l'est à M rî^ = ïj à plus forte raison ; d'autre part, la somme des autres termes est moindre que

M* (M-Hi)«

reste d'une série convergente (273, I).

Si le premier terme Ui n'est pas celui de moindre module dans le tronçon (3), on prouvera comme dessus que la somme considérée est infiniment petite pour les termes qui suivent ce dernier et pour ceux qui le précèdent, ce qui entraîne immédiatement ce que nous avions à démontrer.

275. Si le rapport de r\=i modA au module de Vun quelconque des termes du tronçon (3) est inférieur à la quantité positive 0 < 1, et si l'on représente par

l'accroissement éprouvé par l{t) quand t chemine de t =^ Ui à t=z Ufç^i en passant successivement par les valeurs (3) {toutes en ligne droite)^ on a

II II ,/w^-»-i\

Ux 1^2 Uf à \ Ui / '

avec Vinégalité

(6) modf,< 7j(j, ^,

(T.j désignant la somme des carrés inverses des modules des termes du tronçon (3).