CHAPITRE VII. — DliyBLOPPBlIBNT DBS FONCTXOTTS CIRGULAIRES

elle est le terme général est convergente, même aussi celle des modules de ses termes, pour toute valeur de x (aon de la forme mU) et définit, par sa somme, une certaine fonction de cette variable. Quand < = i, les choses ne se passent pins de la même manière, parce que la série est divergente (9S*); mais, en opérant convenablement, on en déduit encore une fonction du même genre, et sur toute cette matière, on a le théorème fondamental que voici.

Pour i^ 2 la somme de la série doublement infinie dont (8) est le terme général est une fonction indéfiniment méromorphe de x^ que Von peut différentier et intégrer sur un chemin queU conque, en traitant séparément de la même manière tous les termes de la série.

Pour i=i et Ar', k" tous deux infinis, la somme

a pour limite une fonction jouissant exactement des mêmes

propriétés, pourvu toutefois que le rapport -p tende vers une limite K 7^ o.

I. Supposons t^2, et, dans le plan servant à la notation graphique de X, considérons une aire limitée S^; appelons S^ ce qu'elle devient quand on l'accroît d'une zone d'épaisseur supérieure à la quantité positive S, puis A une autre quantité positive supérieure à tous les modules que ;2; puisse acquérir dans S^, puis enfin VX un entier positif donnant ttl modll > A.

Chacune des fractions simples (8) où lu valeur numérique de m surpasse VX, étant développable par la formule de Maclaurin pour toute valeur de x tombant dans S^ parce qu'on y a

m.oda?< A < mod{niJl),

est certainement ololrope dans S^avec un olomètre au moins égal

à 0; de plus elle y a, quelle que soit x, un module inférieur à la

quantité positive

(ii*modn— A)*'

terme général d'une série convergenle à cause de e^a. On en conclut immédiatement (273* et siiiv,) que la série formée par les fractions simples dont il s'agit a pour somme une certaine fonction de x^ olotrope dans Taire S^ avec un olomètre au moins égal à 3, et susceptible d'y être différentiée et intégrée par les mêmes opérations exécutées séparément sur ses divers termes.

La fonction, somme totale de la série dont la fraction (8) est le terme général, est donc méromorphe dans l'aire Sx, puisqu'on l'obtient évidemment en ajoutant à la fonction olotrope dont nous venons de parler la somme des mêmes fractions simples où m est numériquement '^m, fractions dont le nombre est essentiellement limité. Elle est donc indéfiniment méromorphe (29), puisque la forme et l'étendue de l'aire S^ sont entièrement arbitraires.