I. Toutes sont liées à la première par la relation

On a effectivement, parce qui précède,

-» *"^^ dx^-i (X — m 11 )

dxt

II. Celle dUndice i a pour seuls infinis, tous de degré i, les quantités mil, et relativement à chacun d^eux^ sa décomposition (38) donne la fraction simple unique - — -- — -— •

III. Chacune d'elles est unipériodique, avec ± U pour période élémentaire.

Car l'addition de H à a: accroît l'expression (10) de la différence

[a7-h(A:-+-glJJ' (ar — X:U/ qui tend vers o.

La disposition des infinis constatée ci-dessus (II) montre d'ailleurs que la période ± Il est élémentaire et unique (260), (262).

IV. La fonction \\{x) est polarisée, avec ip -^ pour valeurs boréale et australe relativement à la période -j- Il (264).

1° Supposons d'abord n = i, et cherchons la valeur polaire boréale de Çi(^, i), détermination'correspondante de notre fonction, en faisant marcher x = ^'4- ix!' à l'infini dans la direction M. — II. 19

polaire boréale, c^est-à-dire en faisant o^^<Ci et od' infini positif.

A cet effet, nous appellerons M un entier positif variable» tel que le

rapport — soit infini (il suffirait par exemple de prendre M > J^'^*),

et nous considérerons la somme Su des inverses des termes du tronçon de progression arithmétique

a?' -H M -+- «0?^, ar' -h M — IH- iixf ^ . . . , ar'-+- 1^, . . . , a?' — M -h iaf

de raison — i , termes dont celui de moindre module est évidemment infini. On a (275)

rr'-— I .aT*'

avec lime.2=o, et la fraction entre parenthèses ayant pour limite — i, avec un second élément sans cesse positif, le logarithme a pour limite /(i)4-T:e = ir/ (276, II, i**), c'est-à-dire que

On a de plus

(12) liin[5,(a:)-2M] = o.

On obtient efi*ectivement la difi'érence entre crochets sous la forme

ar« — (M-f-i)» ar» — (M-ha)* a;«-(M-i-^)* '•"'

en supprimant dans l'expression (lo) construite avec t = i , n = i , les termes où la valeur numérique de m ne surpasse pas M, accouplant ceux des autres où /n a des valeurs égales et de signes contraires, et prenant pour k infini la limite de la somme des nouvelles fractions ainsi obtenues.

Comme, dans le terme général de cette série,