CHAPITRE YII. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS CIRCULAIRES

et homogène de quelques fonctions

d^ indices quelconques est une fonction unipériodique de x, admettant la période II, ayant des valeurs polaires finies^ et dont l'ordre relativement à U est la somme des indices maximum.s qui affectent ces diverses fonctions dans les termes effectifs de la fonction composée,

La période D appartenant à chacune des fonctions simples (19) (278, III) appartient aussi à la fonction composée (255); elle est unique à cause de la disposition des infinis de cette dernière qui sont les quantités

a-i-/?in, p-t-TwlI, ..., X -4- mil.

Les valeurs polaires de la fonction composée sont évidemment

Ho q= ( A, -+- B, -f- . . . H- L, ) ~ ,

en appelant Ho ie terme constant de la composante et Â| , B4 , . . . , L| les coeffîcients des fonctions simples d^ndices = i (278, IV, V). Enfin, puisque les valeurs polaires de la fonction composée sont toutes deux finies, son ordre est la somme des degrés de multiplicité de ses infinis incongrus a, ^, . . . , X, c^est-à-dire celle des indices maximums des fonctions simples (266).

280. Réciproquement, si f{x) est indéfiniment méromorphe^ unipériodique avec la période II, et polarisée avec des valeurs polaires finies toutes deux, elle s* exprime linéairement au moyen de fonctions analogues à (19).

Soient . . . ; ay; ... les infinis distincts de f{x) tombant dans une même bande, lesquels sont en nombre limité, puisque f{x) est supposée polarisée avec des valeurs polaires non infinies (265), et ... ; Af j, Aj j, . . . , A/j, ... ; ... les numérateurs des fractions simples en . . . ; (^ — *y)~S (^ — *y)"^» • • • ) (a: — oty)"' . . . , ... ; . . . , fournies par la décomposition de f{x) dans la bande considérée, en ces fractions accompagnées d'une partie olotrope (39). Gomme en étendant la sommation à toutes

294 DBUXliMS PARTIE. — FONCTIONS D*X7NB SEULE VARIABLE.

les valeurs des indices i, j qui sont à considérer pour /(^), la

diflFérence

/(a?) — SA/,yî/(ar — ay)

est indéfiniment méromorphe et dépourvue de tout infini proprement dit; comme, d'autre part, elle ne peut devenir infinie pour aucune valeur infinie de x^ puisque ses valeurs polaires sont finies à cause, soit de la nature des fonctions \ (278, IV, V), soit de l'hypothèse faite sur/(x), elle se réduit à quelque constante An- On en conclut bien (49)

/(a?) = Ao-+-2A/,yÇ/(ar — ay).

281. Quand les valeurs polaires de f{^x) ne sont pas toutes deux finies, l'exécution préalable de la décomposition expliquée au n® 269, III permet de la décomposer toujours en exponentielles accompagnées de la somme '^^ij \i {x — ay) ci-dessus. C'est, pour les fonctions unipériodiques polarisées, la réponse à la question que nous nous étions posée au commencement de ce paragraphe.

282. Voici les applications les plus intéressantes de cette formule de décomposition.

I. La fonction cot^, de période it, a dans sa première bande le seul infini x = o qui est simple avec le résidu i , et ses valeurs polaires sontq= t (220), (263), (264). On a donc

(20) cota: = Ji(a7,7r);

la constante est nulle, parce que les valeurs polaires de \\{x, ir)

Tzi sont aussi ir: -— = =n e.