CHAPITRE YII. — DÉVELOPPEMENT DBS FONCTIONS CIRCULAIRES

infini double x = o dans sa première bande. Pour des modules de X suffisamment petits, on a d^ailleurs (231)

SÏtt^X . / X* \ * 37* ^ ^ X^

**('~TX3-^-)

La décomposition de cette fonction dans la première bande donne donc les seules fractions simples -=> -) et Ton a

parce que les deux membres ont o,o pour valeurs polaires (238), (278, V).

IV. La fonction -; — a la période 2tz avec les infinis simples o.ir

dans sa première bande où elle est infiniment petite à Tinfini. Ses résidus sont i en a: == o et — i en a? = ir, à cause des relations (9) du n» 231 et (i5), (16) du n« 232. On a donc

= îi(a:, ai:) — 5i(ar — TT, air),

SlDâ?

parce que les deux membres ont encore 0,0 pour valeurs polaires. Etc.

283. La sommation, pour toutes valeurs de n, e, de la série Jl(x — mU)~^=li{Xj n), résulte immédiatement des considérations précédentes.

L'identité (17) donne d'abord

' 5i(^,n)= Jt,^J^,^^= Jcotja? (282,1).

Il vient ensuite (278, 1)

Jy(a?, n)= — tzlïll — ^ D'-icot-:r,

expression qui se met facilement sous forme d'un poljnome entier en cot- X (217, II, in fine)*

284. Indiquons, en terminant, une manière toute différente d^exécuter la sommation exprimée par la formule (20), d'où se déduisent toutes les subséquentes.

I. La fonction [$i(:r)]' />eM^ être mise sous forme d^une expression linéaire en

ou le coefficient de \i{^x) est non = o.

C'est une conséquence immédiate du théorème du n^ 280, car cette fonction n'a dans sa première bande que l'infini x = o qui est de degré effectif i.

On peut donc résoudre successivement dans leur ordre naturel, cela par rapport aux i fonctions (22), les i équations linéaires existant ainsi entre elles, d'une part, et

5i(^), [ït(^)]«, [Çi(^)]», ..., [Çi(^)?',

d'autre part, c'est-à-dire mettre inversement \i{x) sous forme d^ un polynôme entier en Ç| (x).