CHAPITRE YII. — DÉVELOPPEMEIIT DES FONCTIONS CIRCULAIRES
il reste définitivement Ac = — i , et
dx
Les fonctions \\ {Xy ir) et cot j; sont donc identiquement égales (382*), puisqu'elles satisfont à une même équation différentielle
immédiate (220, I), et que pour x = - elles prennent la même
valeur numérique o (278, VII), (220, II).
III. Un autre procédé bien plus expéditif aurait consisté à établir tout d'abord la formule (21), ce qui se fait à très peu de frais parce que les valeurs polaires de \2{^) s'aperçoivent presque immédiatement, à descendre ensuite par difTérentiation aux expressions de i3(x), \x{x)^ . . ., à remonter enfin à celle de \%{x) en s'ap-
puyant sur l'intégration à vue exprimée par la formule évidente
/dx -. - — = — cota: -h C. Nous aurions ainsi abréffé considérablesin*x °
ment toute cette théorie, car nous aurions évité la recherche, fort longue en somme, des valeurs polaires de ii(x). Mais, outre que les préliminaires de cette recherche nous seront d'une grande utilité dans la théorie des fonctions elliptiques (340 et suiv., inf.)^ nous avons préféré, ici comme partout ailleurs, les méthodes directes aux tours de main ; les unes sont fécondes et mettent à nu le fond des choses, les autres le dissimulent toujours et sont stériles autant que leurs apparences sont séduisantes.
Développement des fonctions circulaires en séries
factorielles (*).
285. L'analogie invoquée au commencement du paragraphe précédent entre les fonctions rationnelles et les fonctions indéfiniment méromorphes, conduit encore à essayer sur ces dernières un autre développement, imité de la décomposition des termes d'une fraction rationnelle en puissances de facteurs linéaires s'évanouissant, les uns aux zéros, les autres aux infinis de la fonction (50).
(*) Quoique les propriétés spéciales des séries factorielles ne soient pas indispensables ici, j'engagerai le lecteur à jeter un coup d'œil sur les n*' 369 et suiv. {in/.), avant de lire ce paragraphe.
298 DEUXliME PARTIE. — FONCTIONS D*UNE SEULE VARIABLE.
Pour les foDclions unipériodiques, cette recherche nous sera singulièrement facilitée par les résultats de la précédente.
Si la constante U n^ est pas nulle, le produit variable
tend, pour k infini, vers une /onction de a: qui est indéfiniment olotrope.
En intégrant de o à :r sur un chemin quelconque ne contenant, sauf o, aucun des points mil, et en choisissant convenablement les logarithmes, on a évidemment
la sommation Sa s^étendant aux valeurs — Ar, — {k — i), . . . , — i , 1,2, . . . , A: de m. Il en résulte (277), (278)
en désignant cette intégrale par X(a;) pour abréger, puis
(3) limPA.(ir) = a?ôto).
L'exposant X(j:) n'a, comme ii(^) , d'autres phases singa-
lières que x = mll (mnon=ro); mais dans le voisinage de pareilles valeurs on a
'^{x) étant olotrope. On a donc aussi
(4) \imPj,(x) = x(^i---^y¥'\
fonction olotrope en j? = mil.
Si, au lieu des facteurs de l'expression (i), on avait considéré le facteur médian x accompagné des k^ placés à sa gauche et des /^ placés à sa droite, et si, appelant K quelque constante positive on
avait supposé //, /r" inCnis, avec Hhitj = K, on aurait trouvé, à
