III. On a les identités

(7) cr(a?H-II)= — o(ar).

La relation (5), combinée avec ce qu'elle devient parle changement de a? en— :r, avec o'( — jr)= ~^JÏ~"^ 5*( — ^)= — Si(^)

(278, VI), donne facilement

dx o{x)

d'où en intégrant

(8) o( — a?)= Co(a?),

ou bien encore

Comme l'intégrale figurant dans la relation (2) tend vers o pour

lima; =o, on tire de l'équation (3)

On en conclut C= — i, moyennant quoi la formule (8) donne ridentilé (6).

Le changement de x en x -^U dans la même relation (5) conduit pareillement à

(9) o(X'\-U) = Co(x)

à cause de $< (j: -f- II) = Ç| (x) (278, III), En faisant ici a: = — 7 et ayant égard à (6), il vient

(G-hi)=o,

d'où G = — I parce que — n'est pas un zéro de o{x) (II). Celle

valeur de G portée dans la relation (9) la change en l'identité (7) qu'il restait à établir.

IV. La /onction o{x) est unipériodique avec zball pour période élémentaire.

D'après l'identité (7), on a

o(a?-i-aIT) = o{x\

et 2II est ainsi une période de cette fonction.

Mais, à cause de (5), toute période de o{x) appartient à \\{x) (2S5); la première fonction ne peut donc être qu'unipériodique comme la seconde, et sa période élémentaire est de la forme |xll, multiple entier de celle de Çi(^). Or l'identité (7) montre qu'on ne peut avoir [jl = ib i .

V. Pour X infinie d'une manière quelconque dans les deux directions polaires respectivement (264), et pour h constant, ou bien variable mais alors fini, on a

/ X 1- O(X-hh) ^rt''

(.0) i.B,__J = en,