CHAPITRE VII. — DBYELOPPBMENT DBB PONCTIONS CIRCULAIRES

c^est'à'dire

lim ^ . , — e ^A =0. L o{x) J

L'équation difTërentielle (5) montre que to{x) est olotrope aussi longtemps que Ç| (x) ; /o(a: + h) est donc développable par la formule de Taylor jusqu'à un module de h égal à la plus courte distance, indéfiniment croissante, de x aux infinis mil de Çi (x) (202*). On a donc, en vertu de la même équation difTérentielle,

à cause des relations (i i) du n^ 278.

Appelons maintenant t^ le module de A, et supposons pour commencer 7ï<;i; appelons encore S/, pour f>i, la somme des modules des termes du développement de ^i{x) en fractions simples (277, 1). Comme x est infinie dans une direction polaire, on finit évidemment par avoir

S, > Sa > Sv > . . . ;

de plus, nous avons reconnu incidemment que Sa tend vers o (278, V). Le dernier membre de la relation (ri) finit donc par avoir un module inférieur à

par suite il tend vers o, ce qui donne

relation équivalente à celle qu41 fallait établir.

Du cas où mod A <^ i , on passe au cas général, au moyen d'iden lités analogues à

o(x -f- Al -+- A,) o(x ■+■ Al) o(x -H A| -t- A|)

0{X) 0(X) Oi^X-trài)

VI. La fonction o{x) est polarisée, avec des valeurs polaires toutes deux infinies.

Cette fonction étant indéfiniment olotrope (285) et né dégénérant pas en une constante est infinie pour quelque valeur infinie de X (8), que sa périodicité permet d'astreindre à varier dans une même bande. Ainsi donc o{x) est infinie quand x s'éloigne indéfiniment dans une bande, et, à cause de la relation (6), la marche de X peut être supposée s'effectuer aussi bien dans la direction boréale que dans la direction australe. La relation (lo) montre, de plus, que si une marche à l'infini de direction donnée rend o[x) infinie, la marche correspondante àe x -^ h jouit de la même propriété. Or, à cause de l'indétermination de A, j? -h A n'est pas autre chose qu'une autre valeur de x allant à l'infini d'une manière quelconque dans la même bande et dans la même direction.

Comme les valeurs polaires de o{x) sont toutes deux infinies, l'ordre de cette fonction (266) est 2, somme des degrés de multiplicité de ses zéros simples o, II, contenus dans sa première Bande élémentaire (II), (IV). La considération de ses raisons polaires (269, IV) conduit à la même conclusion; car, d'après la formule (lo), l'exposant de e dans leur rapport est

'ICI , TTi , . . aiti ,

n n ^ ^ an '

et an est la période de o{x) qui n'a point d'infinis.

VII. Entre o(x, II), o(j?, o), déterminations de notre /onction o{x) qui correspondent aux demi-périodes U, o, on a la relation

(12) 0{Xy U)= -Of^^» ®J-

Elle résulte effectivement, soit de la formule fondamentale (5) combinée avec la relation (17) du n° 278, IV, 3°, soit des identités évidentes

X ïï^ n /w \

mil muj BJ \I1 /