CHAPITRE VII. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS CIRCULAIRES

est dépourvue de tout zéro et de tout infini. Il est donc de la

forme Ke " (269, II).

Cette formule fournil, pour toute fonction unipériodique polarisée, la décomposition à laquelle nous faisions allusion au début de ce paragraphe. On déterminera Tenlier k par la condition que la raison polaire boréale (ou australe) de l'exponentielle (269, IV) soit égale au quotient de celle de /(^) par celle de ^(x) dont le calcul est facile (286, V). La valeur du facteur constant K se tire ensuite de ce que devient la formule pour x = Xq, valeur particulière n'annulant pas son second membre.

Aux fonctions o{x — ai), ..., on peut y substituer les produits o( — «4, U)o{x^ n, ai), . . . (287).

290. Le développement de sino: fournit l'application la plus intéressante de cette formule. Au lieu d'opérer directement, nous substituerons à sinor, de période 2 7? et d'ordre 2, la fonction y(jc)=: c'-'sin^, de période t: et d'ordre i seulement, avec le zéro simple unique x = o.

Comme on a ici A = i , -rj- = 2i, il vient

c'est-à-dire

sinx = Ke*-"'*o(r, it).

L'expression de sinj? en e^^ donne immédiatement pour sa raison polaire boréale e~'^, égale à celle de o{x, tî) (286, V); il en

résulte à- = o. On a d'ailleurs K = i parce que les rapports — — ,

tendent tous deux vers i quand x tend vers o (231), (286, 1).

Il vient donc définitivement / sina; = o(Xf ir)

ou bien, en groupant les facteurs équidistants du facteur médian x^ 291. Le développement de cosx s'obtient de la même manière;

mais il est plus expéditif de le déduire du précédent. La formule (19) donne effectivement

ros

x = — sinix — -) = — o(x 9 TZf

= lim

ir

en groupant les facteurs qui se permutent par le changement de a; en — x.

292. Voici des conséquences intéressantes des formules précédentes.

I. Les développements de sinx, cosx par la formule de Maclaurin, et les séries entières fournies par les développements des seconds membres (effectués comme si le nombre des facteurs y était limité (371, in/,) étant nécessairement identiques, les coefficients des termes semblables y sont égaux. En égalant ceux de j:', par exemple, dans les deux membres de la formule (20), il vient ainsi

Etc.

IL Pour j; = -« on a sin- = 1, et la relation (20) donne

('2 — 1H-2-T- 1) (4 — OU-^-U (2m — l)(2mH-IJ

"" 773 3T5 ' " (2m — i)(2/?i-hi)' ' ' '

c'est la célèbre formule de Wallis.