CHAPITRE VII. — DÉVELOPPEMENT DBS FONCTIONS CIRCULAIRES

III. En choisissant convenablement les logarithmes, on tire de la même formule (20)

et, pour X réelle et <I "î^ numériquement, tous les logarithmes postérieurs au premier dans le second membre sont développables par la formule de Maclaurin (171), en séries entières jouissant évidemment des propriétés mentionnées dans l'énoncé du n° 105*. On met ainsi l'excès de Zsinj; sur Ix sous forme d'une série entière en x^ facile à calculer avec une approximation déterminée.

De même pour Icosx à cause de la relation (21). Ces deux formules servent de base au calcul des valeurs de logsino;, logcoso:, par suite de log tang^, log cota:, qui seules figurent dans les Tables Irigonométriques.

• 293. Les formules (12), (i4)î ('9) donnent immédiatement

o{x, n) = — sin— a?, o(x, II, 0) = ir II

294. La relation (2), combinée avec la formule (20) du n° 282 et avec l'intégration à vue

//*COS 37 /*cl 9>îï\ CP coix cCx = / -. — dx = I — i '• = /sina: H- C, J sina? J sina:

nous aurait conduit immédiatement à la formule fondamentale (19). Nous aurions pu également y arriver plus rapidement en approfondissant d'abord la nature du produit variable Pa(^) considéré en lui-même. Mais, d'une part, l'étude d'une série factorielle (produit de facteurs en nombre infini) ne se fait bien commodément que par l'intermédiaire de la série ordinaire procédant suivant les logarithmes de ses facteurs; d'autre part, nous aurions laissé dans l'ombre l'étroite connexité existant entre les fonctions o{x), \\{x). Nous avons donc préféré la méthode ci-dessus, moins expéditive, mais bien meilleure au point de vue déjà signalé à la fin du n° 284; en outre, elle nous laissera bien peu à ajouter, quand nous traiterons la même question pour les fonctions elliptiques (351 et suiv., inf,).

308 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS d'UNE SEULE VARIABLE.

Intégration des fonctions unipériodiques polarisées.

295. Ce problème se confond avec celui de Tintégralion d*une fonction composée rationnelle quelconque d'exponentielles et de fonctions circulaires méromorphes, toutes à même période; il esl maintenant susceptible d'une solution très simple et très générale, dont on remarquera la grande analogie avec l'intégration des fonctions rationnelles par décomposition en fractions simples.

Soit/(ar) une fonction unipériodique quelconque, de période D, et polarisée. Nous avons vu au n^269, III, que/'(j:) est décompo-

sable en une fonction linéaire d'exponentielles de la forme e "^ (les multiplicateurs k étant des entiers de valeurs et de signes quelconques) et en une fonction de même période H, dont les valeurs polaires sont finies. Cette dernière, à son tour, est réductible à une fonction linéaire de fonctions ^i(x — ay) (280). On a donc en résumé

où, dans la première somme S, k ne prend pas la valeur o.

On a maintenant, en faisant abstraction des constantes arbitraires,

/.tni .tKt

e 11 dx= , .e n , k.2TZl

puis, si i est > i (278, I),

puis enfin, si i = i (286, I),

f\i{x^nj)dx = lo{x — aj).

11 vient donc

f/{x)dx=:C-hBoX-h—.y[^e 11 "^

237^?/-i(^-«y) + 2:Ai.y/o(x-«,).