CHAPITRE Vil. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS CIRCULAIRES

C'est la formule que nous voulions obtenir, et dans Tavant-dernière partie de laquelle, l'indice i ne peut prendre la valeur i . On peut naturellement j remplacer les exponentielles par des

sinus et des cosinus, les fonctions Ç/| {x — ay ) par — cot^ {x — ay )

et par ses dérivées (283), et les fonctions o{x — ay) par

nsinj(ar-ay) (293),

ce qui donne à l'intégrale une apparence circulaire s'il y a quelque raison pour la préférer.

n faut évidemment et il suffit :

1** Pour que l'intégrale soit méromorphe, que la cinquième partie de l'expression (i) n'existe pas, c'est-à-dire que tous les résidus de f{x) soient nuls;

2^ Pour qu'elle soit indéfiniment olotrope, que la quatrième partie n'existe pas non plus, c'est-à-dire que f{x) n'ait aucun infini;

3** Pour qu'elle soit périodique, que la cinquième parti** n'existe pas, et en outre que Bq = o.

295 bis. Les considérations si simples du numéro précédent fournissent, pour des différentielles courantes formant une classe fort étendue, une méthode d'intégration systématique qui, à aucun point de vue, ne nous paraît inférieure aux artifices en faveur. Nous y reviendrons dans le Chapitre I de notre troisième Partie; mais, en attendant, peu de mots nous suffiront pour en faire apprécier le mécanisme.

I. La combinaison des formules (20), (2 1) du n° 282, ( 1 1) du 278, donne immédiatement

doc

T-r- =/Sî(^» 'K)dx = — Si(x, 7t)-!- G = — cot^H- C.

sin*a?

IL Celle des formules (20) du n° 282, (5) du n« 286, (19) du n® 290, conduit à

f cotxdx = /Çi(a?, Tz)dx= lo(Xj it)-»- C = /siiia? + C.

m. On trouve de la même manière (282, IV), (293),

= lo(Xj ai:)— lo{x — ic, 2w)-h C

,/2Tr . T \ .Fait . it xl . r»

= /( — sin — X ) — l\ — sm — (x — ?:) -t- G

\ t: air / L it 27t 'J

sin —

= / ; — r- -4- c = / lang- -h C.

Etc.

Ces formules sont connues de temps pour ainsi dire immémorial, et les procédés qui les ont procurées sont des plus élémentaires; mais ils sont absolument empiriques aussi, et aucun d^eux ne peut en expliquer les natures variées.