THEORIE SOMMAIRE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES

Classification des intégrales elliptiques et ultra-elliptiques.

296. Les premières idées acquises sur les transcendantes étudiées dans les Chapitres précédents ont été inspirées aux inventeurs par les besoins de la pratique, et, quoiqu'elles soient bien loin encore de n'avoir plus cours, nous les avons abandonnées complètement pour remettre ces fonctions à leur place naturelle, pour les montrer sous leur vrai jour. Il n'en sera pas ainsi pour celles dont* nous allons maintenant nous occuper, parce que ce sont des considérations purement théoriques qui ont guidé les géomètres dans la recherche de leurs propriétés.

Revenant aux intégrales abéliennes considérées aux n°' 222 et suiv., dont la forme générale est

où F désigne une composante rationnelle, et y la racine carrée d'un polynôme entier ç(^) de degré efleclif /:>>o, et sans zéro multiple, nous supposerons maintenant, comme il est permis de le faire d'après le n^ 223, que ce degré k est un nombre pair a/i. Alors les intégrales fondamentales (7) du n** 224

rxf^dx r xs ,

(1) \--~=\-—=dx, (^=0, !,..., 2n — a)

sont en nombre égal à an — i .

Si on les prend de a?o à X (sur un chemin de longueur limitée), toutes sont finies. Effectivement, les seules valeurs de x pour lesquelles la fonction placée sous le signe / cesse d'être olotrope sont les zéros de ç(^) (125). En appelant a l'un d'eux et posant

9(a:) = (a? — a)(Pi(a:),

©< (x) ne s'évanouit pas en x = a et l'on a

= (x — a) « = Ao(3? — a) "-h Ai(a? — a)*-f-

parce que, v/f4(^) étant olotrope en x = a^ le second facteur du membre moyen est développable par la formule de Taylor. On en conclut (157)

x^dx ^ ho , vi ^i / xf

jr I ^ 3 ^ '

expression finie pour x = a.

Quand X est infinie, on peut écrire

J^* xërdx r'' £^^ f

en allongeant assez le premier tronçon du chemin d'intégration

pour que le deuxième ne contienne pas la valeur particulière o de jt.

La première intégrale du second membre est finie comme on

vient de le voir. En faisant x= - dans la seconde, elle devient

<«'-»-«-« vARÔ

le polynôme ^(t) étant de degré an [2/1 — i, si çp(o) = o] et donnant A(o)^o. Cela posé, et en admettant, bien entendu, que,

quand x s'éloigne de Xt à l'infini, t = - décrive un chemin limité

en longueur de — à o, il y a deux, cas à distinguer.

1° Si g = n — 2, ^+2 — n est un entier nul ou négatif, on rentre dans le cas précédent pour l'intégrale auxiliaire (2), et V intégrale considérée est comme celle-ci finie.

2® Si g' > /i — 2, ^ + 2 — /i est un entier positif^, et ces deux intégrales sont infinies. Car dans le voisinage de ^ = o, la fonction sous le signe se développe en une série de la forme

hot-^'-hhit-f'-^^-\-..,,