CHAPITRE I. — F0NCTI01«8 OLOTROPES

quanti lés

Aa-^h) f(a-h)

finissent par conserver la première le signe H-, la seconde le signe — .

De là et de l'hypothèse y(X') = /(X'') = o, il résulte que les valeurs

du rapport considéré sont de signes contraires, si les quantités e', e'' ont été prises toutes deux positives et assez petites.

Cela posé, si l'équation f{x) = o n'a aucune racine à l'intérieur

de l'intervalle considéré, les numérateurs /(X' 4- e')» /(-^^ — ^") sont tous deux différents de o et ne peuvent être de signes contraires (22); les dénominateurs /'(X'+e'), /'(Xl'—z") le sont donc forcément, et l'équation (5) a au moins une racine dans l'intervalle partiel X'-+-e', X" — e", par suite dans l'intervalle total considéré.

Si au contraire elle en possède, ces racines sont en nombre limité (4); en les appelant donc ai, as, . . . , a^, le raisonnement ci-dessus prouve que l'équation (5) en a au moins une dans chacun des g -^ I intervalles partiels [X', ai], [ai, aj], . . ., [a^, X''].

24. Les mêmes choses étant admises que ci-dessus, toute détermination de V intégrale indéfinie ff{x)dx dont la valeur initiale Uq est réelle, est réelle aussi dans tout r intervalle [X', X"].

Le premier développement de la détermination dont il s'agit est effectivement (215*)

—I- • • • ) i.îÉ

où tout est réel, savoir w© par hypothèse, /(xo),/'(^o)î/''(«a^o)> • • • parce que/(x) est supposée réelle dans l'intervalle considéré (17), et ^ — Xo parce qu'il ne s'agit que de valeurs réelles de la variable. Les développements subséquents, à exécuter pour cheminer dans l'intervalle considéré, ne conduiront jamais aussi qu'à des quan-

tilés réelles, parce que, pour chacun d'eux, la valeur initiale de l'intégrale est la valeur finale fournie par le précédent.

25. Si le chemin d'intégration coïncide avec un se gment [X'X"] de Vaxe des quantités réelles, V intégrale définie

(()) Ç f{x)dx

est nécessairement réelle. Car, en appelant F(j:) une détermination réelle de l'intégrale indéfinie, sa valeur initiale F(^o) ^^ sa valeur finale F(X) atteinte au bout du chemin d'intégration sont deux quantités réelles (2i) dont la différence F(X) — F(xo) est par définition la valeur de l'intégrale définie considérée (228*).

26. Deux chemins tracés de ^o à X sur l'axe des quantités réelles peuvent évidemment être amenés à coïncidence (en côtés et en sommets) par simple déformation exécutée sur cet axe, c'est-à-dire dans un espace o\x f(^x) est tacitement supposée olotrope. Ils donnent donc la même valeur à V intégrale définie (229% II).

Le plus souvent on suppose donc un chemin d'intégration réel parcouru par une marche de sens constant, et, en changeant au besoin le signe de l'intégrale définie (229*, IV), on prend pour limite inférieure la plus petite (algébriquement) des quantités j^oi X.. C'est ce que nous ferons en particulier ci-dessous.

27. Si entre Xoet^(> Xo),f{x) conserve un signe constant, ce même signe appartient aussi à l'intégrale (6).

Si par exemple ce signe constant est H-, F(^) est une fonction croissante dans l'intervalle (j7oX) à cause de F'(:r) =/(^)> o. On a donc F(X) — F(^o)>o (21).

28. Si donc entre Xq at H on a constamment /i {x) > ou <./2{x), on aura aussi selon le cas

f fi{x)dx> ou < / fi{x)dx\